篇一：浅谈学习线性代数的心得体会
沈阳药科大学选修课结课论文
沈 阳 药 科 大 学
浅谈学习线性代数的心得体会
学校：沈阳药科大学 姓名：郑亚娟 学号：10106331 专业：药物制剂 年级：2010级 班级：03班
一、内 容 摘 要
线性代数是一门较抽象的数学课程,但是线性代数除了其抽象之外还具有另外一个重要的特点：“实用性”，由于计算机的飞速发展和广泛应用，线性代数已成为越来越多的科技工作者必不可少的数学工具。掌握线性代数的基本概念、基本理论与基本方法，为解决工科各专业的实际问题，为进一步学习相关课程及扩大数学知识都将奠定必要的数学基础。
在初步学习了高等数学这门课程后，里面涉及了一些线性代数的求解方法，听老师说，某些题目用线性代数的方法求解更容易，但是由于我们还未系统的学习这门课程，老师也是一带而过，并未深讲。致使我对线性代数这门学科有了浓厚的兴趣，在首先简单了解了这门学科的背景后，发现线性代数是一门丰富多彩充满未知的科学，在看到学校开设了这门课程的选修课后，我义无反顾的叫我们全寝室的人都选修了这门奇妙的课程。
学习线性代数的初步感受就是它的概念多，推理论证多，基本理论与结论多，线性代数在内容上，思想方法上及论证方法上都与“高等数学”有所区别。它具有较强的逻辑性和抽象性，一开始就要高度重视。它又与中学所学的代数有一定的联系，所以有些内容并不是完全陌生的。
我相信只要我每节每章地，一步一个脚印的弄懂、弄通，记住有关的概念和结论，并通过反复的应用（练习）来掌握它，循序渐进掌握这门课程是容易的。
关键词：数学 线性代数背景应用计算方法感受
二、 绪 论
2.1 线性代数的发展史
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡，矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工(本文来自：WWW.xiaocaoFanwEn.cOM 小草范文网:线性代数学习报告)作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不
依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。
2.2 线性代数在数学中的地位
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 ① 性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。
② 计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
③ 线性代数这门学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
2.3 课程主要内容 ㈠ 行列式
①阶与三阶行列式的计算——对角线法则
?x1?2x2?x3??2,
?
?2x1?x2??3x3?1,例: 解线性方程组
??x?x?x?0.
123?
解：由于方程组的系数行列式
1?21
D?21?3?1?1???1????2????3????1??1?2?1?1?1???1?
?11?1
???2??2???1??1???3??1??5?0,
同理可得
1?211?2?2 ?2?21
D2?3??10,D3D321,D1?11x?3?DD2?x2?11??5,?1,?2x??1.1123D?1D?1101?1D?100
② 全排列及其逆序数
例：用两种方法求排列16352487的逆序数。 解：方法1 16 352487
t?0?3?1?2?1?0?1?0?8
方法2 由前向后求每个数的逆序数。
t?0?0?1?1?3?2?0?1?8.
③ n阶行列式的定义： n阶行列式（定义1）设有n^2个数，排成n行n列的表 ,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，的形式如下的项,其中为自然数1,2,...,n的一个排列,t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个,这n!项的代数和称为n阶行列式。
④ 对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 ⑤ 行列式的性质及应用 ⑥ 克拉默法则的应用 ㈡ 矩阵
① 矩阵及矩阵的运算
② 逆矩阵的概念和性质及其求法 ③ 分块矩阵的运算法则 ④ 矩阵的初等变换及消元法 ⑤ 线性方程组的解
?x1?2x2?x3?x4?0
?
例 求解齐次线性方程组 ?2x1?x2?2x3?2x4?0
?x?x?4x?3x?0
234?1
.
解： 对系数矩阵A
?1221?r2?2r1?1221?????A??21?2?2??0?3?6?4?r?r31实施初等行变化?1?1?4?3??0?3?6?4?
????
??1???0?0???
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?220
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?1221??4??012?
3??0000??
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r?r2
2)
2r?5x?2x?x4?0,3??13即得与原方程组同解的方程组 ?
?x2?2x3?4x4?0,? 3?
?5
x?2x?x4,3??13由此即得 ?
?x2??2x3?4x4,(x,x可任意取值).34? 3?
x3?c1,x4?c2，把它写成通常的参数令形式 ?
??x1?2c2?c2,?x1??2??3????3?? ?x?24??????24???c1??c2???.x??2c?c,????22233 ??x3??1???0?0??x?x?c,?1???4??3?1??
?? ?
?x4?c2,
5?5?
⑥ 初等矩阵的概念及其应用㈢ N维向量
① N维向量的概念及其表示方法 ② 向量组线性相关性的概念及判定 ③ 向量组的秩与矩阵的关系 ④ 向量空间的概念及其基与维数 ⑤ 线性方程组的解的结构 ㈣ 相似矩阵与二次型
① 矩阵的特征值与特征向量及其求法 ② 相似矩阵及其性质
③ 矩阵对角化的充要条件及其方法 ④ 实对称矩阵的相似对角矩阵 ⑤ 二次型及其矩阵表示
⑥ 线性无关的向量组正交规范化的方法 ⑦ 正交变换与正交矩阵的概念及性质 ⑧ 用正交变换化二次型为标准形
⑨ 用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形
篇二：线性代数报告
线性代数的应用研究
——矩阵在实际生活中的应用
建筑环境与能源应用工程1班
陈嘉威 3013214105
杜澎磊 3013214106
宋子旭 3013214127
前言
近几十年来，随着科学技术的发展， 特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域(包括力学、电子等学科以及土木、机电等工程技术) 迅速扩展到非物理领域(人口、经济、金融、生物、医学等)。数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。 这就要求我们如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法去解决。
线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科它对于培养学生严谨的逻辑推理和抽象思维能力起着不可或缺的作用。线性代数研究最多的是矩阵。矩阵是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得出想要的 一些结论。所以，矩阵是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。因此，矩阵的应用日趋广泛，很多领域都要用到矩阵的知识。
本文将要探讨的，就是矩阵在实际生活中的一些应用形式。经过分析和筛选，本文将从以下三个方面展开论述：可逆矩阵在保密通信中的应用，矩阵与成本利润的计算以及矩阵与数字图像。
一、可逆矩阵在保密通信中的应用
随着计算机与网络技术的迅猛发展，通信技术中的保密工作显得尤为重要，怎样确保通信过程中信息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。
（一）可逆矩阵
1、矩阵
矩阵的定义：m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，矩阵用
a11 a12 … a1n
21 a22 … a2n这m×n个数称为矩阵大写黑体字母A，B，C，?表示。如：A= a…………am1 am2 … amn
A的元素， aij 称为矩阵A的第i行第j列元素，一个m×n矩阵A也可简记为A=(aij ) m×n 或 Am×n。
矩阵加法：设有两个m×n矩阵A=(aij ) ，B=(bij )，矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=（aij +bij ）m×n。
矩阵乘法：设A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n。矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，规定为AB=(cij ) m×n 其中cij=ai1b1j+ai2b2j+?+aisbsj= sk=1aikbkj (i=1，2，?，m ；j=1，2，?，n)。
2、矩阵的逆
于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=1，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。记作A，即A=B。
（二）保密通信
1、背景 -1-1
自从人类有了文字书写之后， 就考虑使用一些手段来保障通信的机密， 防
止被获取甚至被篡改。早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。直到第二次世界大战，关于通信的加密、解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始， 关于通信的加密解密开始成为一门专门的学科， 包括数学家在内的许多科学家投身其中进行深入的研究。
20世纪末开始， 计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安全，其加密解密的研究也迎来了巨大发展。尤其是21世纪初，电子商务的广泛应用，以及智能手机的介入， 对信息的传输过程中的安全性和可靠性提出了更高要求。而保密通信作为实现信息安全的有效手段， 在这其中起着举足轻重的作用。在通信过程中，基本思路是通过对身份的验证、对传输信号的加密，来确保通信的保密。因此保密通信主要涉及加密、解密的理论。
2、模型
保密通信过程中， 存在明文和密文两个概念。想要发送的信息称为明文，通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。通信过程中， 发送方会通过某种算法对明文数据进行加密， 通过加密后转换成密文数据再发送给接收方， 接收方再通过相应的某种算法，对密文数据进行解密转换，就变成了明文数据。这个过程就是加密解密的过程，其中的某种算法就是密钥，这也就是数据保密通信的模型，具体如下图所示:
（三）保密通信中可逆矩阵的应用
利用矩阵对通信信息进行编码， 即将明文转换成密文发送给接收方， 而接收方再通过相应的逆运算将密文编译成明文，就完成了信息的传递。
1、保密通讯中可逆矩阵的编码过程
设矩阵A为明文矩阵， 矩阵B为加密矩阵（密钥）， 用明文矩阵与加密矩阵的乘积来实施对所发消息的加密，这样就得出密文矩阵C=AB。如果矩阵B是可逆矩阵，则矩阵方程C=AB有唯一解C=AB，其中B是B的逆矩阵。这样，发送方将信息通过可逆矩阵进行加密编码成密文矩阵C=AB发出，接收方接收后再右逆矩阵
B ，就可得到明文矩阵A 。
2、加密矩阵（密钥）的生成
如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密矩阵和求出其逆矩阵作为解密矩阵是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。
我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此，我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥。这种做法的好处是，我们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵 得到初等矩阵的具体初等变换。
在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵。生成解密矩阵也只需要再次利用生成加密矩阵时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可。
3、应用举例
利用矩阵对“Welcome！Tianjindaxue”进行编码。先将英文的26 个字母用数字1-26代替，叹号用27代替，构成一个对照表。此时，“Welcome！Tianjindaxue”-1-1-1
篇三：学习线性代数的心得体会
学习线性代数的心得体会
线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。
线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。
线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。
一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。
上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以
问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。
线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果学习前“心潮澎湃”就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路“存档”，即“做完题后要总结”。
线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。
数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。
通过思想方法上的联系和内容上的联系，线性代数中的内容以及线性代数与高数甚至其它学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线代就不会像原来那样琐碎。方法真的很难讲，而方法包含许多细节的内容很难讲出来甚至我都意识不到，但它们会对学习起很大的作用。我感觉“做完题要总结”，“上课想到老师前面”，“注重知识之间的联系”很重要。