篇一：常微分学习心得
常微分学习心得
时光飞逝，常微分的学习也进入了尾声，通过这一学期以来对常微分的学习，我对常微分有了更深的了解，同时，也发现了一些以前没有发现的不足的地方。
从学习常微分开始，我就觉得常微分比以前学习的科目要难，而且常微分也与我们以前学习的数学分析和高等代数有着很大的联系，如果连这两门科目都没有学好，那么常微分就基本不会做，在我看来，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，老师在上课时主要是讲想法，锻炼同学们的思维能力的这种教学方法很独特，但是，我们大多数的同学，特别是基础没打好的同学学习起来会有点吃力，接受起来也会有一点难度。因此希望老师在讲解的时候能够具体一点，这样大家学起来会轻松一点。同时，学习是我们自己的事情，常微分的学习让我更加深刻的了解到这一点，我任务常微分只在课堂上学习是不够的，只在课堂上学习的话，过不了多长时间就会忘记，这说明我们对知识的理解并不透彻，掌握的也并不牢固，因此，我们需要在课后进行巩固和提高。
以上就是我在这个学期学习常微分的心得和体会。我相信，通过对常微分的学习，我以后能够做得更好。
篇二：常微分学习心得
常微分学习心得
常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。
dyyydx=x +tanx
ｄμydy解：令μ=x，及dx =x+μ代入，则原方程变为 ｄｘ
ｄμｄμtanμx+μ=μ+tanμ，即 =ｄｘｄｘx
dx将上式变量分离即有cotμdμ=x ，
两边积分得㏑｜sinμ｜=㏑｜x｜+c这里c为任意常数 整理后得：sinμ=±e ，令±e =c得到sinμ=c x 此外，方程还有解tanμ=0，sinμ=0.
如果在sinμ=c x中允许c=0，则sinμ=0也就包括在sinμ=c x
ｄμtanμ中，这就是方程 =的通解为sinμ=c x代回原方程得通解ｄｘx
ysinx =c x。
一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我c c
们好好探讨。
在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术， 自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分 变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。
至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。
由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。、
篇三：常微分方程课程总结
常微分方程课程总结
第一章 绪论
1.2微分方程的基本概念
（1）常微分方程偏微分方程
微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
dy?axy,a为常数dy ?pxy?Qx????
偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
?2u?2u??fx,y?x?y
?2u?u?4?x??
（2）线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）
y(n)?a1(x)y(n?1)?
（3）解和隐式解 ?an?1(x)y??an(x)y?f(x).
微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
隐式解：Φ（x,y）=0
（4）通解和特解
通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件：用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法
2.1 变量分离方程与变量变换
2.1.1、变量分离方程 dydy?f(x)?(y) ???f(x)
2.1.2、可化为变量分离方程的类型
dydudyyy?g()，称为齐次微分方程，令u＝,即y＝ux，于是1.形如＝x＋u，代入原方程，dxdxdxxx
dudug(u)?u变形为x＋u＝g（u），整理得＝ dxdxx
2.形如dya1x?b1x?c1 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 ?dxa2x?b2x?c2
（1）a1b1c1dy，方程化为＝k，有通解y?kx?c ???k(常数）dxa2b2c2
a1b1ku?c1dudyc＝a2?b2是分离变量方程 ??k?1情形，令u＝a1x?b2y，这时有＝a2?b2dxdxc2a2b2u?c2
a1b1?情形，若c1、c2不全为零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式，因此a1x?b1x?c1a2b2（2）（3）
＝0，a2x?b2y?c2＝0，交点（?,?)，令X＝x－?，Y＝y－?，化为a1X?b1Y?0， a2X?b2Y?0。则原方程变形为
2.2 线性微分方程与常数变易法
dy?P(x)y?Q(x)，其中P(x)，Q(x)在区间上是x的连续函数。若Q(x)＝0，则（1）一阶线性微分方程dx
dy?P(x)y， 变为dx
称为一阶齐次线性微分方程，若Q(x)?0，则称为一阶非齐次线性微分方程。
（2）P(x)dxdy?P(x)y是变量分离方程，解为y?ce?（c是任意常数）。 dx
P(x)dxaX?b1YdYY?1＝g() dXXa2X?b2Y（3）常数变异法，令y?c(x)e?，微分之，得到
P(x)dxdydc(x)?P(x)dx?e?c(x)P(x)e?代入原方程得到新方程，解得dxdx
?P(x)dxc(x)??Q(x)e?dx?c 得到通解y?e?
（4）伯努利微分方程 P(x)dx??P(x)dxQ(x)edx?c ?
dy?P(x)y?Q(x)yn dx
dzdy?(?n)y?n令z?y1?n，从而，均代入原方程得到 dxdx
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x),这是线性微分方程。 dx
2.3 恰当微分方程与积分因子
2.3.1 恰当微分方程
（1）简单二元函数的全微分：
ydx?xdy?d(xy) ?ydx?xdyyydx?xdyx?ydx?xdyy?d()?d() ?d(ln) x2xy2yxyxydx?xdyxydx?xdy1x?y?d(ln)?d(ln) 2222x?yyx?y2x?y
2.3.2积分因子
?M?N?
?(x)dx?y?x??(x)，积分因子??e?。 N
2.4一阶隐式微分方程与参数表示
dy（1）形如y?f(x,)， dx
引入参数dydy?y?fdy?p，原方程变为y?f(x,p)，两边对x求导，并以?p代入，得到p?，这是?dxdx?x?pdx关于x,p的一阶微分方程
（2）形如x?f(y,
引入参数dy)， dxdydx11?f?fdp?p，原方程变为x?f(x,p)，两边对y求导，并以?代入，得到??，这是dxdypp?y?pdy关于y,p的一阶微分方程，设求得通解为?(y,p,c)?0，则方程通解为?
（3）形如F（x,y?)＝0
x3?y?3?3xy??0x?f(y,p) ?(y,p,c)?0
3t3t29(1?2t3)t2
解：令y??p?tx,则由方程得x?,从而p?,于是dy?dt,积分之，得到（4）形如F33331?t1?t(1?t)
9(1?2t3)t231?4t3
y??dt??c2(1?t3)2(1?t3)3
（y,y?)＝0
第三章 一阶微分方程解的存在定理
3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
1．存在性与唯一性定理：
（1）显式一阶微分方程 dy?f(x,y) （3.1）dx
这里f(x,y)是在矩形域：R:|x?x0|?a,|y?y0|?b（3.2） 上连续。
定理1：如果函数f(x,y)满足以下条件：1）在R上连续：2）在R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数L?0，使对于R上任何一对点(x,y1)，(x,y2)均有不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2成立，则方程（3.1）存在唯一的解y??(x)，在区间|x?x0|?h上连续，而且满足初始条件
?(x0)?y0 （3.3）
其中h?min(a,b),M?maxf(x,y),L称为Lipschitz常数. x,y?RM
思路：
1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程
y?y0??f(x,y)dx x0x
的连续解。
2）构造近似解函数列{?n(x)}
任取一个连续函数?0(x)，使得|?0(x)?y0|?b，替代上述积分方程右端的 y，得到
?1(x)?y0??f(x,?0(x))dx x0x
如果?1(x)??0(x)，那么?0(x)是积分方程的解，否则，又用?1(x)替代积分方程右端的y，得到 ?2(x)?y0??f(x,?1(x))dx x0x
如果?2(x)??1(x)，那么?1(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到?n(x)?y0??f(x,?n?1(x))dx （3.4） x0x
于是得到函数序列{?n(x)}.
3）函数序列{?n(x)}在区间[x0?h,x0?h]上一致收敛于?(x)，即
lim?n(x)??(x) n??
存在，对(3.4)取极限,得到
lim?n(x)?y0?lim?f(x,?n?1(x))dxn??n??x0
xx =y0??f(x,?(x))dx x0
即?(x)?y0??f(x,?(x))dx. x0x
4) ?(x)是积分方程y?y0??f(x,y)dx在[x0?h,x0?h]上的连续解. x0x
命题1设y??(x)是方程(3.1)定义于区间x0?x?x0?h上,满足初始条件?(x0)?y0 的解,则y??(x)是积分方程y?y0??f(x,y)dxx0?x?x0?h(3.5) x0x
的定义于x0?x?x0?h上的连续解.反之亦然.
命题2 对于所有的n，（3.6）中的函数?n(x)在x0?x?x0?h上有定义，连续且满足不等式 |?n(x)?y0|?b （3.6）
命题3 函数序列{?n(x)}在x0?x?x0?h上是一致收敛的.
记lim?n(x)??(x),x0?x?x0?h n??
命题4 ?(x)是积分方程(3.5)的定义在x0?x?x0?h上的连续解.
命题5 设?(x)是积分方程(3.5)的定义在x0?x?x0?h上的一个连续解,则?(x)??(x),x0?x?x0?h.
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard的逐次逼近法
??0(x)?y0?x ? ?(x)?y?f(?,?(?))d? x?x?x?h0n?100?x0??n
对方程的第n次近似解?n(x)和真正解?(x)在|x?x0|?h内的误差估计式 MLn
n?1|?n(x)??(x)|?h （3.7） (n?1)!
例1 讨论初值问题 dy?x2?y2, y(0)?0 dx
解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,R:?1?x?1,?1?y?1.
解M?max|f(x,y|?2,a?1,b?1,h?min{a,(x,y)?Rb1?f?,由于||?|2y|?2?L,根据误差估计式M2?y
(3.16) MLn
n?11|?n(x)??(x)|?h??0.05(n?1)!(n?1)!
可知n?3.于是
?0(x)?0
x3
?1(x)??[x??(x)]dx? 03x22
x3x7
?2(x)??[x??(x)]dx?? 0363x22
1
x3x7x11x15
?3(x)??[x??(x)]dx???? 0363207959535x22
2
11上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 22
3.2解的延拓
2、局部利普希茨条件 ?3(x)就是所求的近似解,在区间??x?
定义2 若函数f(x,y)在区域G内连续，且对G内每一点P，都存在以P点为中心，完全含在G内的