篇一：大一上学期高数论文
合肥学院 课 程 (原文来自：wWw.xiaOcAofANweN.coM 小 草 范 文 网:极限经济论文) 论 文
专 业 酒店管理 班 级 一班学生姓名 张超 学 号 1514061036 论文题目 微积分在生活中的应用教 师王后春
微积分在生活中的应用
摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用
关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导
绪论
作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。 我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。
希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。
一、微积分在几何中的应用
微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！
1.1求平面图形的面积
(1)求平面图形的面积
由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线f?x2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为
f??
2
1
x22313722
xdx????
31333
2
(2)求旋转体的体积
(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a<b) 及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V???f2(x)d(x)。
ab
(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c<d)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为V???g2(y)d(y)。
cd
(III)由连续曲线y=f(x)( f(x)?0)与直线x=a、x=b(0?a <b)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为V?2??xf(x)d(x)。
ab
x2y2
例如：求椭圆2?2?1所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋
ab
转体的体积。
分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭
圆y?x2(?a?x?a)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆
x2y2
??1所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为
a2b2
vy????a?b2213a
?2(ax?x)?a?a3
a
2
dx?
?b2
a
2
?
a
?a
dx
4
?ab23
椭圆绕y轴旋转时，
旋转体可以看作是右半椭圆x?
?b?y?b)，x2y2
与y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆2?2?1所围成的图形
ab
绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为
?a2vy???dy?2
?bb
?a2213b42?2(by?y)?b??abb33
b
2
?
b
?b
dy
二、在几何中的应用
2.1微积分在几何学中的应用
(1)求曲线切线的斜率
由导数的几何意义可知，曲线y=( x)在点x0处的切线等于过该点切线的斜率。即f'(x0)?tana，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。
例如：求曲线y?x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程。 分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：
k?y'
x?1
?2xx?1?2，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线
方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方
1
程为y?1??(x?1)，化解得法线方程为2y+x-3=0。
2
(2)求函数值增量的近似值
由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。
例如：计算sin46o的近似值。
分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取x0?450，?x?10,(10?由
微
机
分
的
定
?
?
180
)，则
义可
知
sin460?sin(45?1)?sin45?f(45)
?
180'?0
?0.7194 180
篇二：论文《论极限理论的微分之谜》
附件05-1：论文《论极限理论的微分之谜》
讨论微积分的五篇论文
第1篇
（本文发表在《高等数学研究》2012年第4期上，以原文为准）
论极限理论的微分之谜
师教民1,2
（1.石家庄广播电视大学 科学技术部，河北 石家庄 050081；
2.石家庄经济学院 信息工程学院，河北 石家庄 050031）
摘 要：第一代微积分存在第二次数学危机（微分
之谜），第二代微积分没有解决第二次数学危机．
关键词：第一代微积分；第二次数学危机（微分之
谜）；第二代微积分
中图分类号：O172 文献标识码：A
文章编号：1008-1399(2012)04-0044-03
极限理论(标准分析法或第二代微积分)存在三大错误：①没有揭开微积分之谜，②形成严重的逻辑困难，③与物理实践不相符合．本文用在极限理论求导公式中加入公式的方法，证明上述三大错误的①．
牛顿、莱布尼茨的微积分理论——无穷小量分析法(第一代微
[1?8]积分)定义并求函数y?x2的导数的过程为：令函数y?x2的自
变量x变化无穷小量dx≠0，则y随之变化增量dy，所以
dy?(x?dx)2?x2?x2?2xdx?(dx)2?x2?2xdx?(dx)2，
收稿日期：2012-04-07；修改日期：2012-07-28
作者简介：师教民（1945?），男，河北晋州人，教授，从事数学、物理、电
工、电子的教学与研究．Email：shijm618@126.com
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dy2xdx?(dx)2
??2x?dx． dxdx
把函数F(dx)?2x?dx在dx?0时的函数值定义为函数y?x2的导 数，记做y′或Dy，于是有 Dx
Dyy′??F(dx)dx?0?(2x?dx)dx?0?2x?0?2x． (1) Dx
从上述(1)式的推导知，第一代微积分在推导出函数
F(dx)?2x?dx
时，无穷小量或微分dx≠0，然而在定义并求函数y?x2的导数时，又改成无穷小量或微分dx?0．因此，第一代微积分说不清楚到底是dx≠0还是dx?0，即产生了dx≠0和dx?0的矛盾．这个矛盾由于dx叫做微分而叫做微分之谜，由于微分之谜是微积分理论中的重要内容，所以这个谜也叫做微积分之谜；因为这个谜主要是英国大哲学家贝克莱指出的，所以这个谜又叫做贝克莱悖论；因为这个谜很难揭开，所以这个谜还叫做第二次数学危机．贝克莱悖论和第二次数学危机把这个微分之谜推上了世界数学大难题的宝座，使它著名于天下．
柯西等人创立的微积分理论——标准分析法（极限理论或
[1?2，4?8]第二代微积分）定义并求函数y?x2的导数的过程为：令
函数y?x2的自变量x变化任意增量Δx≠0，则函数y随之变化增量Δy，所以
Δy?(x?Δx)2?x2?x2?2xΔx?(Δx)2?x2?2xΔx?(Δx)2，
?y2x?x?(?x)2
??2x?Δx． ?x?x
把函数 G(Δx)?
50 ?y??2x?Δx在自变量Δx→0 时的极限值定义?x
为函数y?x2的导数，记做y′或dy，于是有 dx
y′?dy?limdx?x?0??y (Δx≠0)]?lim[(2x?Δx) (Δx≠0)]????x?0??x
?x?0lim[(2x?Δx) (Δx可等于0)]?(2x?Δx)?x?0?2x?0?2x．(2)
文[2]???说：“最后我们来看看自变量x的本身：它的增量Δx，就叫做它的微分，即规定dx?Δx，?”．所以(2)式就可改为：
y′?dy??y?lim? (dx≠0)]?lim[(2x?dx) (dx≠0)]??dx?0dxdx?0?dx
dx?0lim[(2x?dx) (dx可等于0)]?(2x?dx)dx?0?2x?0?2x．(2a)
从上述(2a)式的推导知，第二代微积分在推导出函数
G(dx)??y?2x?dx dx
并定义函数y?x2的导数时，任意增量或微分dx≠0，然而在求出函数y?x2的导数时，又改成任意增量或微分dx?0．因此，第二代微积分说不清楚到底是dx≠0还是dx?0，即产生了
dx≠0和dx?0
的矛盾．
比较对式(1)和式(2a)的分析知，第二代微积分和第一代微积分一样有dx≠0和dx?0的矛盾，即第二代微积分没有解决微分之谜或微积分之谜或贝克莱悖论或第二次数学危机这个著名于天下的世界数学大难题．
但是，第二代微积分和第一代微积分也略有不同：第一代微积分是直接把函数F(dx)?2x?dx在其自变量dx?0时的函数值定义为函数y?x2的导数的．而第二代微积分则是通过极限拐了一个
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弯儿后，才把函数F(dx)?2x?dx在其自变量dx?0时的函数值定义为函数y?x2的导数的．拐的这个弯儿就是：先把函数y?x2的 导数定义为极限lim[(2x?dx) (dx≠0)]，又把这个极限定义为函 dx?0
数[(2x?dx)(dx≠0)]在其自变量dx无限趋向于0时无限趋近的目标，这个目标也是函数[(2x?dx) (dx可等于0)]在其自变量dx无限趋向于0时无限趋近的目标，因而又是函数[(2x?dx) (dx可等于0)]在其自变量dx无限趋向于0时的极限，根据连续的充要条件（该条件简述为：极限值等于函数值，详见文[8]???）可知，这个极限还是函数[(2x?dx) (dx可等于0)]在其自变量dx等于0时的函数值[注意：这句话说明了(2a)式各步都成立的理由]．所以 把函数y?x2的导数定义为极限lim[(2x?dx) (dx≠0)]，就是定义 dx?0
为函数[(2x?dx) (dx可等于0)]在其自变量dx等于0时的函数值．这样，第二代微积分通过极限拐了一个弯儿后，还是与第一代微积分定义的导数完全相同了．然而，就是第二代微积分通过极限拐的这个弯儿，把不少人拐迷糊了．
换句话说，从第二代微积分的(2a)式的推导知：
dx?0lim[(2x?dx) (dx≠0)]?(2x?dx)dx?0．
这个等式的左边是第二代微积分把y?x2的导数定义成的极限值，右边是第一代微积分把y?x2的导数定义成的函数值．因此这个等式说明了第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数本质相同，只不过是它们使用的名称不同而已：第一代微积分使用的名称是函数值，第二代微积分使用的名称是极限值．如果我把它叫做猪狗值，那么也是未尝不可的，第二代微积分不就是把表示分得微小的微分概念叫做可以是任意大、充分大、足够大的增量（即dx?Δx）吗？所以，把它叫做函数值也好，极限值52
也好，猪狗值也好，只是名称的不同，而本质上都是上述的函数[(2x?dx) (dx可等于0)]在其自变量dx?0时的函数值．
这个等式也说明第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数是一回事，只不过是它们使用的语言不同而已．也就是说，第一代微积分使用了朴实的直言快语（函数值）、而第二代微积分则改成了婉转的花言巧语（极限值）．然而，就是第二代微积分改成的花言巧语把不少人说晕糊了．
为了更加容易地理解上述内容，第二代微积分拐的那个弯儿还可以据(2a)式和(1)式用下述语言描述：
第二代微积分把函数y?x2的导数先定义为函数
?y?2x?dx (dx≠0) dx
在dx→0时的极限值，再替换成函数F(dx) ??2x?dx（dx可等于0）在dx→0时的极限值，又换成函数 F(dx)?2x?dx（dx可等于0）在dx?0时的函数值；第一代微积分则是把函数y?x2的导数直接定义为函数F(dx)?2x?dx (dx可等于0)在dx?0时的函数值．所以，第二代微积分和第一代微积分分别定义的y?x2的导数，因为都是函数F(dx)?2x?dx（dx可等于0）在dx?0时的函G(dx)?数值而本质相同，只不过是第一代微积分是直接确认、第二代微积分是用极限符号倒换了两次以后才确认而已．所以，如果把导数2x比做白骨精，那么第一代微积分是直接把导数2x说成是真实面目的白骨精的，而第二代微积分则是迂回进行的，即把导数2x：先说成是肉眼看来的美丽村姑，就是
dx?0lim?y?lim[(2x?dx) (必须有dx≠0)]； dxdx?0
dx?0再说成是披上美丽村姑画皮的白骨精，就是lim[(2x?dx) (可以
有dx?0)]；又说成是脱下美丽村姑画皮的、露出真实面目的白骨
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篇三：毕业论文--求极限的几类方法研究
求极限的几类方法研究
Research on Several Kinds of Methods for the Limit Solving
论文作者：
专业：
指导老师：
完成时间： 年 月日
摘要
求极限的方法是高等数学的基础,也在解决生活中的问题上发挥越来越重要的作用.文章结合极限的基本思想,归纳与总结求极限的几种重要方法：两个重要极限,洛必达法则,泰勒公式等,并结合具体例子进行介绍.
The methods of limit solving are the basis of advanced mathematics, and also playing a more and more important role in solving the problem of life. The page combines the basic idea of the limit as will as introduces some methods of limit solving such as by using two important limits, L 'Hospital Rule, the Taylor formula and so on, some concrete examples will also be presented.
关键词：极限；方法；洛必达法则；泰勒公式；定积分
Keywords: limit; method; L' Hospital Rule; Taylor Formula; definite integral
目录
1 引言…………………………………………………………………………………………… 4 2 极限的定义…………………………………………………………………………………… 4 3 极限的定理…………………………………………………………………………………… 4 4 求极限的方法………………………………………………………………………………… 5
4.1 用极限定义求极限……………………………………………………………………… 5
4.2 用极限四则运算求极限………………………………………………………………… 6
4.3 用函数连续性求极限…………………………………………………………………… 7
4.4 运用两个重要极限求极限……………………………………………………………… 7
4.5 用等价无穷小求极限…………………………………………………………………… 8
4.6 用夹逼定理求极限……………………………………………………………………… 8
4.7 用洛必达法则求极限…………………………………………………………………… 9
4.8 用泰勒公式求极限………………………………………………………………………10
4.9 用定积分求极限…………………………………………………………………………11
4.10 用拉格朗日中值定理求极限…………………………………………………………13
4.11 用积分中值定理求极限………………………………………………………………13
4.12 用级数收敛必要条件求极限…………………………………………………………14
4.13 用变量替换求极限……………………………………………………………………15 5 关于二元函数的极限…………………………………………………………………………16 6 总结……………………………………………………………………………………………17 参考文献………………………………………………………………………………………… 18 致谢……………………………………………………………………………………………… 18
1 引言
求极限的方法是数学分析很重要的一部分内容,也是学生学习高等数学的基础,是不可或缺的基本功,但求极限的方法纷繁复杂,种类繁多,给很多同学造成了很大的困难,错误的方法不仅计算量大,而且可能求不出结果,浪费精力.而且随着社会发展,人们越来越意识到求极限在各个领域如经济学,天文学,力学,化学,社会科学,工程学正发挥越来越大的作用.很多人意识到学习极限的重要性,因此我认为有必要将几种常用的求极限方法进行归纳.
2 极限的定义
2.1 数列极限的定义
?数A称为数列?a1,a2,a3,???,an,????的极限, ???0,?N?N,当n?N时,都有
an?A??成立. 就称数A是数列?an?的极限,记作limf(x)?A,或an?A,(n??). x??
2.2 函数极限的定义
an?f(n),
即数列是定义域为全体自然数集合的函数,数列的极限,是考场当自变量n??,函数值f(n)的变化趋势.
对于一般函数y?f(x),如果它定义在(??,??)上,除了如同数列一样,可以考察当自变量x??时,函数的变化趋势外,还可以考察当自变量x?x0,x在函数f(x)的定义域内取值（x0为一实数）时,函数值f(x)的变化趋势,即函数的极限.
定义1???0,总存在着一个正数X,当x?X时, f(x)?A??成立, 则称常数A 为函数f(x)当x???时的极限,记为limf(x)?A. n???
定义2???0,总存在着一个正数X,当x??X时, f(x)?A??成立, 则称常数A 为函数f(x)当x???时的极限,记为limf(x)?A. x???
定义3???0,总存在着一个正数?,当0?x?x0??,f(x)?A??成立,则称常数A为函数f(x)当x?x0时的极限,记为limf(x)?A. x?x0
定义 4若f(x)在某种趋势下以0为极限,则称函数f(x)为该趋势下的无穷小量.
3 极限的定理
应用函数极限的定理
定理 1 （极限的四则运算）若limf(x)及limg(x)存在, x?x0x?x0
则（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x);
x?x0x?x0x?x0
（2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x);
x?x0x?x0x?x0
limf(x)f(x)x?x0lim? （3）（此时需limg(x)?0） x?x0g(x)x?xlimg(x)0
x?x0
推论 若limf(x)存在,C为常数,则lim?Cf(x)??Climf(x). x?x0x?x0x?x0
定理 2（夹逼定理）若limf(x)?limg(x)?A,且存在??0（或X?0）,当x?x0x?x0
0?x?x0?? (或x?X;x??X;x?X)时, f(x)?h(x)?g(x)成立,则
x?x0limh(x)?A(lim?A;limf(x)?A;limf(x)?A). x???x???x??
注： 前面指出数列极限为函数极限的一个特例,所以它们的定理也大致相同.
4 求极限的方法
4.1 用极限定义求极限
用极限定义求极限适用于一般证明题,只需根据要求求出符合要求的N即可,但有时遇到特殊情况,需要分类讨论.
x2?x?21?例1证明 lim. x??3x2?2x?43
x2?x?21证明 ???0,确定不等式??? 23x?2x?43
x2?x?21?5x?105(x?2)由不等式左边项可知当x?2时, ???3x2?2x?433(3x2?2x?4)3(3x2?2x?4)
又因为5(x?2)?5x,3x?2x?4?3x?2(x?2)?3x (x?2) 222
5x111x2?x?21所以当x?2时, ,只要使,即,不等式成立,????x??223?3xxx?3x?2x?43
得证.
例2证明limn??a1n?1, a?0.