篇一：第六节 常用空间曲面
第三节 曲面及其方程
[教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图
[教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程
[教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘
[教学过程]
一、问题的提出
在日常生活中，我们经常遇到各种曲(转载自：www.xiaocaOfaNWen.com 小草 范 文 网:空间曲面等角螺旋线的几个例子)面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？
二、曲面方程的概念
（一）曲面方程的基本概念
在一般情况下，如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)?0 （1）
有下述关系：
（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）
那么方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形。
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。
（二）建立几个常见的曲面方程
例1 若球心在点M0(x0,y0,z0)，半径为R，求该球面方程。
解：设M(x,y,z)是球面上任一点，那么
M0M?R
MM?0又
2222(x?x)?(y?y)?(z?z)?R000故 （2）
这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以
M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么x0?y0?z0?0，从而球面方程为
x2?y2?z2?R2
将（2）式展开得
222x2?y2?z2?2x0x?2y0y?2z0z?x0?y0?z0?R?0
所以，球面方程具有下列两个特点：
（1） 它是x,y,z之间的二次方程，且方程中缺xy,yz,zx项；
（2） x,y,z的系数相同且不为零。 222
（三）曲面研究的两个基本问题
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x,y,z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。
（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。
（2） 已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。
例2 方程x?y?z?4x?y?0表示怎样的曲面？
解：配方，得 222
117(x?2)2?(y?)2?z2?24 1(2,?
,0)2所以所给方程为球面，球心为，半径为2。
三、旋转曲面
（一）旋转曲面的定义
一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
（二）旋转曲面的方程
设在yOz坐标面上有一条已知曲线C，它的方程为f(y,z)?0，曲线C绕z轴旋转一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面
设M1(0,y1,z1)为曲线C上一点，则有
f(y1,z1)?0 （3）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1随C绕到另一点M(x,y,z)，这时，z?z1且点M到z轴的距离为
d??y1
y?z?
z11将，3）式，便得到
f(z)?0 （4）
这就是所求的旋转曲面的方程。
y
f(y,z)?0C由此可知，在曲线的方程中将改成C绕z轴旋转所成的旋转曲
面的方程。
同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y,?0（5）
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角?（0????2）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点O，旋转轴为z轴，半顶角为?的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在yOz坐标面上直线L的方程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y
改成
z??
或 z?k(x?y)
其中k?cot?。
例4 将xOz坐标面上的双曲线
2222
x2z2
?2?12ac
分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：绕z轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为
x2?y2z2
?2?1a2c
绕x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为
x2y2?z2
??122ac
四、柱面
（一）柱面的定义
设直线L平行于某定直线并沿定曲线C移动形成的轨迹。
定曲线C叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线。
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？
（二）柱面的分类
一般地，如果方程中缺z，即f(x,y)?0，它表示准线在xOy坐标面上，母线平行于z轴的柱面。 方程g(y,z)?0,h(x,z)?0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面方程。
例如，方程y?x，方程中缺z，所以它表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线2
y?x2，该柱面叫做抛物柱面
例如，方程x?z?0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是
面上的直线x?z?0，所以它是过y轴的平面
五、二次曲面
（一）定义
我们把三元二次方程F(x,y,z)?0所表示的曲面称为二次曲面。
（二）举例
（1） 椭圆锥面
x2y2
2??za2b2
① 截痕法：通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法。
以垂直于z轴的平面z?t截此曲面，当t?0时得一点(0,0,0)；当t?0时，得平面z?t上的椭圆
x2y2
??122(at)(bt)
当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。 ②伸缩变形的方法：把空间图形伸缩变形形成新的曲面。
)曲面F(x,y,z?)为点0y轴方向伸缩?倍，曲面F(x,y,z)?0的点M(x1,y1,z1变沿
x1?x2,y1?
11y,2z?1zM?(x2,y2,z2)，其中?2)，因为点M在曲面F(x,y,z?0，所以有上
F(x)，故01,y1,z1?F(x2,?y2,z2)?0。 x2?y2x2?y2b2?z?z2
22例如将圆锥面a的图形沿y轴方向伸缩a倍，则圆锥面a即变成椭圆锥面
x2y2
2??za2b2。
（2） 椭球面 x2y2z2
?2?2?12abc
x2y2
?2?12xOyab把面上的椭圆绕y轴旋转，所得的曲
面方程为
篇二：等角螺旋线
浅谈等角螺旋线
作者：09公管 丁刘泽隆 王海玥 阚萍
摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。 关键词：等角螺线 黄金比 应用
引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli?)后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem?mutata?resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。
一、 模型的建立
(1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达：
ρ=αe^(kφ)
其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径 （polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828??，是一个无限不循环小数。
(2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio）
首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比
宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形
ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形
FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验
以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以
通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。
我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿
掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如
此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集
合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我
们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。
参考资料《数学爵士乐》【美】 爱?德华伯格 迈克?尔斯塔伯德著
二、 模型的性质
(1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。
(2)设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺
线的相交的角永远相等（故其名），而此值
-1 为 cotln b。
从螺线的心向螺线上任一点
引一条线段，该线段与螺线上该点的切线间的夹角处处相等（图片来自）
(3)设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为
-1tan ln b，名为“倾斜度”
(4)等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。（以上来自维基百科）
(5)等角螺线的渐屈线（asymptotic curve）和垂足线都是等角螺线。
(6)从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。
（7）等角螺线的渐屈线是同样的等价螺线，所以也是它关于原点的反演曲线
（ inversional curve）。如果把光源放在原点，那么它由反射和折射得到的焦散曲线也是同样的等角螺线。
（8）如果等角螺线在一条直线上滚动，那么该螺线的成为极的原点的极是另一条直线。
曲线上从极（即O点）到X点的长等于XT，这里T是极的出发点，∠TOX是直角。（见下图 来自《神奇而有趣的几何》【英】戴维?韦尔斯 著 余应龙 译）
T X
三、 模型的应用
1、 自然界中的对数螺线
（1）鹦鹉螺的外壳像等角螺线
(2)旋涡星系的旋臂像等角螺线
(3)蜗牛的外壳像等角螺线
(4)低气压的外观像等角螺线
（5）蜘蛛织的网成等角螺线：蜘蛛在结网的过程
中，腿发挥了关键的作用。它们先用腿从抽丝器中抽
丝，固定到树干上，把整个轮廓勾勒出来。之后，沿
着已经建好的轮廓向中心爬，再在合适的地方加上几
根幅线固定，为了保持平衡，再在对称的地方加上相
应的幅线。这样，之中就用幅线把圆周分成了几部分，
相邻幅线间的圆周角大体相同。最后，蜘蛛用丝在半
径（幅线）上，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径
上安上最后成网的螺旋线。这根螺旋线，形如等角螺
线的图像：越接近中心，每周的间距就越密，螺线上
的任意一点和中心的连线与螺线上这点的切线所形成
的角是一个定角。（摘自：好父母教育咨询网）
2、工业中的对数螺线
（1）在工业生产中，
把抽水机的涡轮叶片的曲面
作成对数——螺线的形状，抽水就均匀；
（2）在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好；
（3）工业生产中使用的一种用于砖瓦轮窑焙烧或锅炉助燃的离心式引风机，采用了扩张宽度的呈对数螺线形状的风箱和后向机翼形叶轮等设计，减少了风量损失，提高了空气动力性能，具有结构紧凑、移动方便、能量消耗小；
（4）混凝土搅拌机的叶片设计：螺旋叶片的前、后锥采用非等角对数螺旋线, （如图2 所示, ）中圆采用等角对数螺旋线。（如图3所示,） （摘自：中国混凝土网）
四、 参考文献
《数学爵士乐》【美】 爱?德华伯格 迈克?尔斯塔伯德著
《数学万花镜》【波】胡?施坦豪斯 著 裘光明 译
《邮票上的数学》 罗宾?J?威尔逊 著 李心灿 邹建成 郑权 译
《神奇而有趣的几何》【英】戴维?韦尔斯 著 余应龙 译
篇三：常用空间曲面
第六节 常用空间曲面
一、曲面方程的概念
在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下，如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)?0 （1）
有下述关系：
y,z)?0
（1） 曲面S上任一点
的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1） （1）就叫做曲面S的方程，而叫做方程（1）的图形（图6-21）。 平面解析几何中把平面曲线当迹一样，在空间解析几何中，曲面看作一个动点按照某个规
那么方程
曲面S就
x 象在 作动点轨 我们常把 律运动而成的轨迹。
运用这个观点，我们来建立球面方程。
例1 若球心在点M0(x0,y0,z0)，半径为R，求该球面方程。 解：设M(x,y,z)是球面上任一点，那么
M0M?
R
又
M0M?
2
2
2
2
故 (x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么x0?y0?z0?0，从而球面方程为
x?y?z
2
2
2
将（2）式展开得
x?y
2
2
?R
2
2
2
2
?z
2
?2x0x?2y0y?2z0z?x0?y0?z0?R?0
所以，球面方程具有下列两个特点：
（1） 它是x,y,z之间的二次方程，且方程中缺xy,yz,zx项；
2
2
2
（2） x,y,z的系数相同且不为零。
现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？
例2 方程x?y?z?4x?y?0表示怎样的曲面？ 解：配方，得
(x?2)?(y?
2
2
2
2
12
)?z
22
?
174
所以所给方程为球面，球心为
2
2
2
(2,?
12
,0)
，半径为2。
例3 方程x
?y?z?2x?2y?z?3?0是否表示球面？
解：配方，得
(x?1)?(y?1)?(z?
2
2
12
)??
2
34
显然没有这样的实数x,y,z能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x,y,z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。
（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。
（2） 已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。
例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知x,y,z间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。
下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面和二次曲面。
二、旋转曲面
一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
设在yOz坐标面上有一条已知曲线C，
它的方程为f(y,z)?0，曲线C绕z轴旋转一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图6-22）
设M1(0,y1,z1)为曲线C上一点，则有
f(y1,z1)?0
（3）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1随C绕到另一点M(x,y,z)，这时，z?z1且点M到z轴
x的距离为
d??y1
将z1?
z，y1??
代入（3）式，便得到
f(z)?0 （4）
这就是所求的旋转曲面的方程。
由此可知，在曲线C的方程f(y,z)?0中将y
改成?所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y,?0（5）
便得曲线C绕z轴旋转
例1 求
yOz
坐标面上的抛物线
y
2
?2pz(p?0)绕z轴旋转而成的旋转曲
面的方程。
解：绕z轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图6-23），它的方程为
x?y
2
2
?2pz
例5 将xOz坐标面上的双曲线
x
图6-23
xa
22
?
zc
22
?1
分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：绕z轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为
x?yaxa
22
22
2
?
zc
22
?1
绕x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为
例6 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的
c?y?z
22
2
?1
交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角?（
0???
?
2）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点
在原点O，旋转轴为z轴，半顶角为?的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在yOz坐标面上直线L的方程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y
改成便得到这圆锥面的方程
z?2
，
2
t?
2
或 z?k(x?y) 其中k?cot?。
2
三、柱面
图6-24
设直线L平行于某定直线并沿定曲线C移动，则直线
L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，直线L
叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方
程有什么特点呢？下面举例说明。
图6-25
问方程x?y
?R表示什么曲面？
2
2
2
2
2
2
在xOy坐标面上，方程x?y?R表示圆心在原点，半径为R的圆。在空间直角坐标系中，方程缺z，这意味着不论空间中的点的竖坐标z怎样，凡是横坐标x和纵坐标y满足这方程的点都在方程所表示的曲面S上；反之，凡是点的横坐标x和纵坐标y不满足这
个方程的，不论竖坐标z怎样，这些点都不在曲面S上，即点P(x,y,z)在曲面S上的充分必要条件是点P?(x,y,0)在圆x?y?R上。而P(x,y,z)是在过点P?(x,y,0)且平行于z轴的直线上，这就是说方程x?y?R表示：由通过xOy坐标面上的圆x?y?R上的每一点且平行于z轴（即垂直于xOy坐标面）的直线所组成，即方程x?y?R表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。
0一般地，如果方程中缺z，即f(x,y)?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，类似于上面的讨论，可知它表示准线在xOy
坐标面上，母线平行于z轴的柱面。而方程g(y,z)?0,h(x,z)?0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面方程。
例如方程y?x，方程中缺z，所以它表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面
2
上的抛物线y?x，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。
又例如，方程x?z?0表示母线平行于y轴的柱
2
面，其准线是xOz面上的直线x?z?0，所以它是过y
轴的平面（图6-27）。
四、二次曲面
最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程
图6-27
0所表示的曲面称为
空间直角坐标系，可得它们的标面的标准方程来讨论二次曲面的
（1） 椭圆锥面
F(x,y,z?)
二次曲面。选取适当的
准方程，下面就二次曲形状。
xa
22
以垂直于z轴的平面z?t截
b
?
y
22
?z
2
此曲面，当t?0时得一
点(0,0,0)；当t?0时，得平面
x
22
z?t上的椭圆
(at)
?
y
22
(bt)
?1
图6-28 当t变化时，上式表示一族长短轴
从大到小变为0时，这族曲线从
合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图6-28）
比例不变的椭圆，当大到小并缩为一点。综
t
平面z?t与曲面F(x,y,z)?0的交线成为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。
本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。
先介绍伸缩变形法。曲面F(x,y,z)?0沿y轴方向伸缩?倍，曲面F(x,y,z)?0的点
M(x1,y1,z1)
变为点
M?(x2,y2,z2)
，其中
x1?x2,y1?
1
?
y2,z1?z
2
，因为点M在曲面
F(x,y,z)?0上，所以有F(x1,y1,z1)?0，故
F(x2,
1
?
y2,z2)?0
。
x?y
22
例如将圆锥面
x
22
a
2
2
?z
2
bx?ya
2
22
的图形沿y轴方向伸缩a倍，则圆锥面
?z
2
即变成
b椭圆锥面a。
（2） 椭球面
x
22
?
y
22
?z
a
?
yb
22
?
zcx
22
?1yb
2
22
2
2
把xOy面上的椭圆a
2
??1yb
22
绕y轴旋
?1
x?za
2
转，所得的曲面方程为，该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿z轴方向
c
?
伸缩a便得椭球面（2）（图6-29）。
（3）双曲面
x
22
22
22
22
单叶双曲面 a
x
?
yb
22
?
zc
22
?1
?
y?
z?1
x
图6-30
22
x
把xOz面上的双曲线a
?b
zc
22
?1
x?y
22
绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面a
2
?
zc
22
?1
，
把此旋转曲面沿y轴方向伸缩a倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。类似的方法可得双叶双
曲面（如图6-31）
（4）抛物面
x
22
椭圆抛物面
a
?x
22
y
b?
22
?zyb
22
双曲抛物面（马鞍面）a
?z