篇一：排队论论文
摘要：本文首先对排队论中的基本建模与相关知识点进行了总结，然后对生活中排队论的运用的例子进行了讲解，接下来对无线通信中排队论的运用进行了相关的说明。最后进行了总结。
关键词：排队论，随机过程，泊松分布
一、排队论中的基本建模与相关知识点
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开系统。
各个顾客由顾客源(总体)出发，到达服务机构(服务台、服务员)前排队等候接受服务，服务完成后离开。
排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。
排队过程的一般模型
实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客；
(2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。
排队系统由三个基本部分组成：①输入过程②排队规则③服务机构。输入过程：
这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程。
(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。
(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。
(3)顾客流的概率分布，(本文来自：wwW.xIAocAofaNwEn.com 小 草范 文 网:运筹学基础及应用银行排队论案例)或称相继顾客到达的时间间隔的分布。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。服务规则：
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。
(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。
①先到先服务。
②后到先服务。
③随机服务。
④优先权服务。
(3)混合制。这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。
服务台情况：
(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。(3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。
排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式：
A/B/C/D/E/F
各符号的意义为：
A—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布；
D—表示定长输入；
Ek—表示k阶爱尔朗分布；
G—表示一般相互独立的随机分布。
B—表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布；
D—表示定长分布；
Ek —表示k阶爱尔朗分布；
G—表示一般相互独立的随机分布。
C—表示服务台(员)个数：“1”则表示单个服务台，“s”。(s＞1)表示多个服务台。
D—表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量；如系统有K个等待位子，则 0<K<∞，当 K=0 时，说明系统不允许等待，即为损失制。K=∞ 时为等待制系统，此时∞般省略不写。K为有限整数时，表示为混合制系统。
E—表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
F—表示服务规则，常用下列符号：
FCFS：表示先到先服务的排队规则；
LCFS：表示后到先服务的排队规则；
PR：表示优先权服务的排队规则。
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
排队系统的主要数量指标:
1.队长N(t)和排队长（队列长）Nq(t)
队长是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)，排队长是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。我们希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。
L或Ls：平均队长；Lq：平均等待队长或队列长
2．等待时间Tq(t)和逗留时间T(t)
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间,从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间,都是随机变量。我们希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。
W或Ws：平均逗留时间；Wq：平均等待时间。
3．忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。闲期是服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
二、利用排队论在生活中建立的模型及分析
在学习中可以发现，所有的排队论建模：都是先确定人或物到达满足泊松分布（最常用的），所以人到达的时间间隔满足夫指数分布。然后建模，并使用排队论的生灭过程的结论，写出状态转移图，算出状态转移概率即可。
1.入库理货区规划
把排队论的原理应用于仓库入库理货区规划研究，建立了入库理货区规划模型；用蒙特卡洛模拟来进行大量的数据分析，减弱随机性对结果造成的影响。结
果显示利用排队论原理来规划仓库入库理货区面积，可以使得理货区的利用率达到71.2%，该种方法是合理有效的。
利用排队论原理，合理规划仓库功能区之一—入库理货区的面积是研究的重点。主要应用的原理是排队论原理，货物入库服从M/M/1 排队模型，表示顾客相继到达间隔时间服从负指数分布（到达的顾客流是泊松流）、服务时间为负指数分布、一个服务台。使用了蒙特卡洛模拟法。
建模：
1.模型约束条件建立
把货物到达接受服务送到货架上的过程视作一个排队系统，该系统满足以下三个条件：
（1）理货区只存在一个服务窗口；
（2）货物到达时间服从泊松分布；
（3）货物接受理货服务时间服从负指数分布，当有货物正在接受理货服务时，再来的货物将处于等待状态。
2.货物入库模型建立
由货物入库模型的约束条件及理货区服务的运行机制可知，该货物入库模型服从M/M/1 排队模型，设货物到达率是λ，理货区的理货服务率是μ，可画出该系统的状态流程图。该状态图表示当系统内有k 单货物时，理货服务人员正在理货，有k-1单货物正在排队等待。
状态转移图
把排队论应用于仓库布局规划。从货物到达入库再到货物出库的过程其实就是：到达- 排队- 服务- 排队- 服务- 离开这样的一个完整过程。
2.在快速公交停车站中的应用
随着社会不断发展与进步，快速公共已经成为解决交通拥堵的主要手段。虽然快速公交通过了专用通道实现了区间的快速运行，但是车站站台的服务水平也决定了其整体服务水平。本文运用排队论的基本原理建立数学模型，量化了站台的停车位数以及站台可容纳的公交线路数，从而得出最优的解决方案。 基于排队论的停车位数量模型
车辆就是“顾客”,而停车位就是可提供服务的“通道”，有多少个停车位就有多少个通道提供车辆被服务。由此，我们可以这样认为:快速公交系统中的专用车道就相当于排队系统的单列多通道服务系统（M/M/N），到达的车辆按照先到先服务的原则，当停车位都有车辆接受服务时，那后到的车辆就要依次排队等候服务。这样的一个“服务系统”满足排队论的特征。
参数设置
车辆单位时间到达停车站的车辆数就是系统的到达率λ， 车辆单位时间接受系统服务的车辆数就是系统的服务率μ，即每辆车接受的服务时间就是1/μ。λ表示单位时间到达每一个通道的车辆数，既有λ=Nλ。根据排队论的原理：ρ=λ/μ，若ρ≥1，则系统是不稳定的，产生的排队无法消散;若ρ＜1，则系统是稳定的。
（3）模型建立
若系统中没有车辆的概率;若系统中n 辆车的概率;排队系统中的平均车辆数;平均排队长度.
对上述模型分析得出：假设N′表示为有效的停车位，若n＞N′，则说明车辆到站后没有有效地停车位，会产生等候拥堵，既是停车位无法满足公交到达的要求。若n≤N′，说明现有停车位可以满足车辆到达的要求。一般的多车位停车位的利用率表1 所示：
（4）停车位确定
为了确保排队系统的稳定， 需要满足ρ＜1， 再代入n≤N′是否满足，在进行P（n≤N）＞M 验证。（注：M 为系统的置信度，既是系统车辆数不超过设计停车位的置信度，一般取值为85%-95%。）。如若不满足则继续优化计算，一直到满足要求停止。
运用了排队论的基本原理建立了停车位和站台容纳公交线路的数学模型，对快速公交的停车站场优化有一定的作用。但是还有不足之处就是没有考虑实际每辆公交车进入停车站的停车时间是不一样的，还有就是天气、车辆的长度等等一些复杂的外在因素，这些在以后的学习中会有更深入的研究。
3.基于排队论下的自助取款机排队系统实证研究
ATM 客户排队是一个亟待解决的问题，衡量客户等待成本，并控制好银行随之引发的成本上升，是解决此类问题的目标。银行经营以客户至上为原则，且其营销过程中始终以提高客户满意度为原则。本文基于排队论相关理论，并结合调研数据，根据已有的排队系统分析模型，估计出当前排队系统的运行效率，以此为依据对现行排队系统的服务水平做出合理评估，有针对的提出系统优化方案。排队等待的时间越
短，服务机构就越受顾客欢迎。客户满意度跟银行利润率有显著的关系，客户满意度越高，银行效益越好。
排队论是运筹学的一个分支，一般排队系统由三个基本部分组成：输入过程、排队规则、服务机构。其中服务系统一般分为三类：①损失制系统。若顾客到达某系统时，正遇系统繁忙，则顾客选择离去，放弃排队，称为损失制系统。②等待制系统。若顾客到达某系统时，先到顾客优先受到服务，后到顾客则需耐心等待，顺序服务，称为等待制系统。③混合制系统。该系统处于损失制与等待制之间。
根据研究问题，排队论中排队系统几个重要指标：平均排队长度：Lq；顾客等待时间（平均时间）：Wq；顾客逗留时间（逗留时间）：WS；顾客数（平均数）：LS。本文选取几个常用的数量指标：平均到达率λ；平均服务率μ；系统中并联服务台数目S；服务台强度ρ；系统处于稳态的概率P0，系统处于繁忙的概率P。在排队论的四种模型中模型一排队结构偏向单通道形式，服务阶段单一，顾客总体趋于无限，顾客到达的分布属于泊松分布，排队规则属于先来先服务，服务时间分布选取指数分布，队列长度无限。
单个服务台排队模型的构建：可以看作一个标准的M/M/1系统；
两个服务台排队模型的构建：
①若该模型中顾客的排队方式是顾客到达后排成一队，依次接受服务，则该模型可以看作一个M/M/2/∞/∞系统；
②若在该模型中，顾客的排队方式变为到达自助银行后可到任一窗口排队，且入队后不再换队，则可形成并列的队列，这时该模型变成了由3 个M/M/1/∞/
篇二：基于排队论的简单实际应用
基于排队论的简单实际应用
摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工
作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，用Pn(t)表示在时刻t，服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率。通过输入过程，排队规则，和服务机构的具体情况建立关于
Pn(t)的微分差分方程求解。令Pn(t)?0
'
把微分方程变成差分方程，而不再含微
分了，因此这样意味着把Pn(t)当作与t无关的稳态解。关于标准的M/M/s模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同?1=?2=...=?s=?.于是整个服务机构的平均服务率为s?；令?=
?s?
,只有当
?s?
<1时才不会排成无限的队列，成这个系
统为服务强度，各顾客服务时间服从相同的负指数分布.
关键词：泊松分布，指数分布，概率，期望，Little公式 基于排队论的简单介绍
M/M/1：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。
蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
排队论研究的基本问题
（1）排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队 理论进行研究。
（2）系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间 分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
（3）最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。
问题的陈述：办公室有三条电话线可以打进，也就是说在任意时刻最多能打进
接待三通话者来访，打进的电话是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布，每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。他们当中有人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。
1、问题的提出：请仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计： （1） 无电话占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比； （2） 没有打进电话的人所占的百分比。
（3） 若办公室再新装一部电话，你怎样修改模型？改进这一模型还需要其他什
么信息？
2、问题的分析：这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为?的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为?的负指数分布，系统的空间为K。
3、背景的分析：在办公室三部电话系统的前提下，研究其工作情况，无电话占线、有一个、有两个、三个都占线所占的时间百分比，为保证顾客源不致过多的流失，能够接通更多的电话，比较研究是否应该新增加一台电话。 4、建立的模型：
①假设：顾客的相继到达时间服从参数为?的负指数分布，服务时间服从参数?的负指数分布，Pn(t)表示在时刻t，服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率，平稳状态队长N即系统中的顾客数其期望值LS，平稳状态排队长NP,指系统中排队等待服务的顾客数其期望值为Lq，逗留时间T指平稳状态顾客在系统中的停留时间，记它的期望值为WS，等待时间Tp指平稳状态顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq，?n表示当系统处于n时新来顾客的平均到达率，?n表示当系统处于n时，整个系统的平均服务率，s是系统中并行服务的台数，???/?s为系统的服务强度。Little公式为：W?顾客拨打这三部电话是等可能性的。
L,Wq?
Lq
?W?
1
???
，
②模型形式：为求平稳分布，考虑系统处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而达到平衡状态后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下： 0?1p1??0p0 1 ?0p0??2p2?(?1??1)p1 2 ?1p1??3p3?(?2??2)p2n-1?n?2pn?2??npn?(?n?1??n?1)pn?1 n ?n?1pn?1??n?1pn?1?(?n??n)pn 由上述平衡方程，可求得 0： p1?
?0?1
?1?2?2?3
p0
1： p2?
p1?
1?21?3
(?1p1??0p0)?
?1?2?2?3
p1?
?1?0?2?1
p0
2： p3?
p2?(?2p2??1p1)?p2?
?2?1?0?3?2?1
p0
n： pn?1?
?n?n?1
pn?
1
?n?1
(?npn??n?1pn?1)?
?n?n?1
pn?
?n?n?1??0?n?1?n??1
p0
记
Cn?
?n?1?n?2??0?n?n?1??1
n=1，2，?
则平稳状态的分布为：
pn?Cnp0 n=1，2，?
由概率分布的要求
?
?
n?0
pn?1
?有?1???C?n?p0?1 n?1?
?
于是
p0
11?
?
?n?1
CN
?
上式只有当分母级数收敛时才有意义，即当?n?1Cn??时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。
由上面推导知本电话系统模型中有：
?n
n?1,2,?K?1????
0n?K?
0?n?ss?n?K
?n?
?n??
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于是
??n
p??n!0
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??p0
n?s??s!s
0?n?s
pn
s?n?K
其中
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??K?s?1?s
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s?1s????
??s??n?0n!s!(1??)??
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??1
s
??1
s
由平稳分布?n，n=0,1,2,?，K,可得平均排队长为：
K
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?(n?s)p
n?s
n
K?s?1K?s?p0?s?s
[1???(1??s)(K?s?1)?]?
?s!(1??s)2ss??s
p0?(K?s)(K?s?1)s???1
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??1
s
为求平均队长，由
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K
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K
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?(n?s)p
n?0
n
得到
s?1
L?LP?s?p0?
n?0
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n!
n
由系统的空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率?e。对多服务台系统有
?e=?(1?pK)
再利用Little公式为：W?
L?e
,Wq?
Lq
?e
?W?
1
?
平均被占用的服务台数（也就是正在接受服务的顾客的平均数）为：
s?1
K
n
?
?np
n?0
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n?s
nK
?s?1n?n???p0???s?n?s?
n?ss!s?n?0n!?n?1K
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篇三：排队论
中 北 大 学
毕业论文开题报告
学 生 姓 名：
学 院、系：
专 业： 张佩 学 号： 0807014108 理学院数学系 数学与应用数学
毕业论文题目： 具有第二次多选择服务及顾客反馈的
指导教师:
2012年 3月 10 日 M/M/1排队模型及应用 朱志峰
开题报告填写要求
1. 开题报告作为毕业设计答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。
此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在系审查后生效；
2. 开题报告内容必须用按数学系统一设计的电子文档标准格式（可从数学系
网页上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见；
3. 学生写文献综述的参考文献应不少于15篇（不包括辞典、手册及网络资
源）。文中应用参考文献处应标出文献序号，文后“参考文献”的书写，应按照国标GB 7714—87《文后参考文献著录规则》的要求书写，不能有随意性；
4. 学生的“学号”要写全号（如0415140101），不能只写最后2位或1位数
字；
5. 有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换
格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年3月15日”或“2004-03-15”；
6. 指导教师意见和所在系意见用黑墨水笔工整书写，不得随便涂改或潦草书
写，也可打印，但必须手写签字。
7. 开题报告应在本学期前四周内完成。
毕 业 论 文 开 题 报 告