篇一：排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及习题分析
在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！
32＝（5×4×3）/（3×2×1）C＝（6×5）/（2×1） C56
通过这2个例子 看出
Cn 以取值N的阶层作m 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
为分母
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
n＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层 Pm
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.
解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；
其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.
分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.
两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：
1．有限制条件的排列问题常见命题形式：
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.
2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.
***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）
(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个
------------------------------------------------------
【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，
（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3
（理由同上 ，可见规律出现）
规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36
2、
（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
------------------------------------------------------------
【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^4
（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
-------------------------------------------------------------
【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3
（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？
-------------------------------------------------------------
【解析】分步来做
第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种
第二步：分配给3个同学。 P33＝6种
这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是56×6＝336
3、 七个同学排成一横排照相.
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600）
---------------------------------------------
【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5
第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720
所以 总数是720×5＝3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440）
-------------------------------------------------
【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2
第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720
则总数是 720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120）
---------------------------------------------------
【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400
第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的6个位置满足P66＝720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440）
-----------------------------------------------
【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论
第1： 选位置 C6取1＝6
第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 则 最后结果是 120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
-------------------------------------------------------
【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.
（1）能组成多少个四位数？ （300）
--------------------------------------------------------
【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性
接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300
（2）能组成多少个自然数？ （1631）
---------------------------------------------------------
【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数： C6取1＝6
2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数： 5×P55＝5×120＝600
总数是1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能
（3）能组成多少个六位奇数？ （288）
---------------------------------------------------
【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288
（4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21）
----------------------------------------------------
【解析】 能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25： 3×3＝9后2位是50： P42＝4×3＝12 共计9＋12＝21
（5）能组成多少个比201345大的数？ （479）
------------------------------------------------
【解析】 从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大 于等于2的6位数是多少？
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有组成三位数的总和. （32640）
---------------------------------------------
【解析】每个位置都来分析一下
百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)
十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)
个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)
总和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）
【解析】 也(本文来自：wwW.xIAocAofaNwEn.com 小 草范 文 网:排列组合基础知识)就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的
所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864）
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656）
【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的
C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的
C100取5－C98取3＝75135424
6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
--------------------------------------------------------
【解析】根据条件我们可以分2种情况
第一种情况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30
第二种情况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以总数是 30＋40＝70种
7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种. -------------------------------------------------------
【解析】至少有3件 则说明是3件或4件
3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46
共计是 4140＋46＝4186
8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ）
(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】分步完成
第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210
第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况
则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520
篇二：排列组合基础知识
排列组合基础知识.txt如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光！我允许你走进我的世界，但绝不允许你在我的世界里走来走去。【分享】排列组合基础知识及习题分析如果认为本帖有价值 请点一下 已有15人推荐
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在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！
C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）
通过这2个例子 看出
CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.
解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；
其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.
分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.
两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：
1．有限制条件的排列问题常见命题形式：
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.
⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.
2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.
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提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）
(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个
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【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，
（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3
（理由同上 ，可见规律出现）
规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36
2、
（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
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【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^4
（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
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【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3
（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ -------------------------------------------------------------
【解析】分步来做
第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种
第二步：分配给3个同学。 P33＝6种
这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。
所以该题结果是56×6＝336
3、
七个同学排成一横排照相.
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600）
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【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5
第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720
所以 总数是720×5＝3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440）
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【解析】
第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2
第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720
则总数是 720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120）
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【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400
第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置
则 剩下的6个位置满足P66＝720
因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440）
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【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论
第1： 选位置 C6取1＝6
第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2
则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12
剩下的5个人即满足P55的规律＝120
则 最后结果是 120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
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【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.
（1）能组成多少个四位数？ （300）
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【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300
（2）能组成多少个自然数？ （1631）
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【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数： C6取1＝6
2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数： 5×P55＝5×120＝600
总数是1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能
（3）能组成多少个六位奇数？ （288）
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【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288
（4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21）
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【解析】 能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25： 3×3＝9
后2位是50： P42＝4×3＝12
共计9＋12＝21
（5）能组成多少个比201345大的数？ （479）
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【解析】
从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有组成三位数的总和. （32640）
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【解析】每个位置都来分析一下
百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)
十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)
个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)
总和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864）
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656）
【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的
C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的
C100取5－C98取3＝75135424
6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，
篇三：排列组合知识点与方法归纳
排列组合知识点与方法归纳
一、 知识要点
1. 分类计数原理与分步计算原理
（1） 分类计算原理（加法原理）：
完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn成这件事共有N= m1+ m2+?+ mn种不同的方法。 （2） 分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有2步有m2种不同的方法，??，做第n步有mnN= m1× m2×?× mn2. 排列
（1） 定义
从n个不同元素中取出m（
）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不
.
同元素中取出m个元素的排列数，记为（2）
a) 排列数的公式：
特例：当m=n时， 排列数的性质：
=n（n-1）（n-2）?（n-m+1）=
=n！=n（n-1）（n-2）?×3×2×1规定：0！=1
（Ⅰ）（Ⅲ）
3. 组合
（1） 定义
=
（Ⅱ）
a) 从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合 b) 从n个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
表示。
元素中取出m个元素的组合数，用符号
（2） 组合数的公式与性质
a) 组合数公式：（乘积表示）
（阶乘表示）
特例：
b) 组合数的主要性质：
（Ⅰ）
4. 排列组合的区别与联系
（1） 关，而且还与取出元素的顺序有关。是判断这（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：
（Ⅱ）
例1、500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（ ）
A .5B.6种 C. 7种 D. 8种
解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论： 第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；
第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法； 于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。
例2、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上
红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？
解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。
第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法， 故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。
第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。 综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。
例3、用数字0，1，2，3，4，52和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？
解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。
第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有
种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有
=36个。
种排法，
于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有
第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有
个。
其中，有如下三种情况不合题意，应当排险： （1）0在首位的，有
个；
个 个
=30个
（2）0在百位或十位，但2与3相邻的，有（3）0在个位的，但2与3相邻的，有因此，含有0的符合条件的四位数共有于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个
例4、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）
A.720种 B.480种 C.24种 D.20种
分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有种。
例5、 （1）（2）若（3）
；
，则n=；；
种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有
（4）若 ，则n的取值集合为；
（5）方程解：
的解集为；
（1）注意到n满足的条件∴原式=
=
（2）运用杨辉恒等式，已知等式
（3）根据杨辉恒等式原式=
=
所求n=4。
=
=
（4）注意到这里n满足的条件n≥5且n∈N ① 在①之下，
*
原不等式
∴由①、②得原不等式的解集为{5，6，7，?，11}
（5）由
注意到当y=0时， 无意
义，原方程组可化为
是原方程组的解。
由此解得经检验知