篇一：《等比数列的前n项和》教学案例设计
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、 设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全
体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”， 体现“人人学数学”，“不同
的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重
要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意
识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树
立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知
识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和
公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，
涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教
学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想
方法。
⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价
值，发展数学的理性思维。
教学重点
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学
生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周
世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”
中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
四、 教学过程
（一）创设问题情景
课前给出复习：等比数列的定义及性质
课首给出引例：“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,
所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者
的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
(1?30)?30'?1?2???30??465（万元） 穷人30天借到的钱：S302
穷人需要还的钱：S30?1?2?22???229??
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求S30?1?2?22???229?？的问题让学生探究，
S30?1?2?22???229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2S30?2?22???229?230②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） S30?230?1?1073741823
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法
推导）
Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1(1)
qSn?a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn(2)
（1）-（2）有(1?q)Sn?a1?a1qn
q?1?na1,? Sn??a1(1?qn)a1?anq,q?1?1?q?1?q?
推导等比数列前n项和Sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）
学生A： ?a2?a3???an?q ?a2?a3???an?q 即 a1a2an?1a1?a2???an?1
sn?a1?q?sn?a1?anq(q?1)sn?an1?q。
学生B：
sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1
?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anq
?sn?qsn?a1?anq?sn?a1?anq(q?1) 1?q??
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推
进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！
让学生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习：】
1、求下列等比数列的各项和：
1111(1)1，3，9，?，2187（2）1,?,,?,?,? 248512
2、根据下列条件求等比数列?an?的前n项和Sn
①a1?2,q?2,n?8 ②a1?8,q?2,an?
(四)数学应用
例1 求等比数列1/2，1/4，1/8??的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11解 ： （1） ?a1?,q?,n?8 221 2
11(1?n)?255 ?S8?2
12561?2
1（2）?a4?a1q3?,n?5 16
11(1?5)?31 ?S'?12561?2
例2：在等比数列?an?中，
（1）已知 a1??4,q?2, 求Sn
（2）已知a1?1,ak?243,q?2求Sk
例3：在等比数列?an?中，S3?763,S6? 求an 22
[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]
【演练反馈巩固性练习：】
1）在等比数列?an?中，
①已知a1??1.5,a7??96，求q和Sn
②已知a3?4,S3?12,求q和a1
2）求数列1?a?a2?a3??an?1??(a?0)的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价]
（六）布置作业
1、根据下列条件，求等比数列?an?的前n项和Sn
①: a1?3,q?2,n?6 ②: a1?8,q?11,an? 22
5,n?4 ④: a1?a3?10,a4?a6?, ③：a2?0.12,a5?0.000964
2、在等比数列
①:已知?an?中， a1?2,S3?26，求q和Sn
?30,S3?115，求Sn
?中，已知Sn?48,S2n?60，求S3n ②:已知S23、在等比数列?an
2n?1S?1?3x?5x???(2n?1)x(x?0) 4、求和：n
[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。]
（七）板书设计
等比数列的前n项和
公式推导 例题 练习
注：
（七）课后反思
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：
1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征，利
2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?”、“ 如何推导等比数列前n项和公式？”、“还有没有其他推导方法？” ??促使学生去思考问题，去发现问题。
篇二：等比数列教学案例
等比数列求和教学案例
等比数列求和公式的推导,是数列教学的难点,推导的方法学生不易理解,但是其求和的方法,思路在后面一般数列求和里面有着非常重要的作用.本案例试着利用问题教学的模式让学生自己去寻找.
1、案例
师：西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注，其中一个重要的举措即是退耕还林。王师傅是当地一名热心群众，退休后，他决心用一个月的时间做下面的事：第一天，他自已种一棵树；第二天，他发动两个人和他一起每人做一棵树；第三天，这三个人每人再发动两个人加入他们的行列，每人种一棵树。如此继续，持续了一个月（30天计）。请问他们能让多少耕地还林？对此我们需要考虑哪些问题？
生：就是森林覆盖的面积问题.所以要求出30天种树的总量，以及相邻两树之间的距离。 师：这是一个实际问题，为了简便起见，我们假设任何相邻两树间的距离都是0.5米。因此剩下的问题即是求树的总数，大家可以尝试着做一下。
（学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）
师：有同学求出来了吗？
生：我发现他们第一天种1棵，第二天种3棵，第三天种9棵，第四天种27棵，依次类推，他们每天种的树构成一个以1为首项，3为公比的等比数列。所以
。但我算不出来。 S30?1?3?32???329（1）
师:当数列项数比较多时,那么一项一项累加就比较繁琐;为了又快又巧地解决这个问题.我们通常有两种思路: 一种就是在项数仍然较多的情况下，使得每一项都相同，即将之特殊化，如前面提到的高斯求和的方法。
生:老师,这个方法我们试过了,
S30?329?328?327???1 ?2S30??1?329???3?328???32?327?????1?329?
但是下面就没有办法了.因为括号里的不是全部相等.
师：对的非常好.,所以我们应该去考虑另一种方法,那就是想办法抵消一些项，使之转化为只有几项相加减的情况。对于等比数列求和，我们采用后一种思路。即求和关键是要消去中间过多的项。另外，这里的S可以看作是天数的函数，比如S30表示30天时的函数值，S29就表示29天时的函数值。那如何消掉中间项呢?看一下前后之间的项的关系?
（教师在巡视中可以发现，教师的提示起到了重要的作用，学生求解过程中有如下方案： 组1：先把S30算式中间的项写出来，即3?3???3，并提取公因子3后写成：228
3(1?3???327)，发现括号里即为S28，所以便有：S30?1?3S28?329。做到这一步，学生发现要求S30，却出现了S28，于是有用S30替换S28的，也有用S28替换S30的，最终求得S30330?1?。 2
组2：把（1）式作如下处理：S30?1?3(1?32???328)?1?3S29。然后用类似组1的方法求出S30。
组3：（1）×3：3S30?3?32?33???330（2）；
（1）—（2）得?S30?1?3，求得S3030330?1?。这即是教材的求法。） 2
（教师让每组学生派代表对各自的求解思路作汇报后，作出总结。）
师：从三组学生对这个问题的求解过程来看，前n项求和的本质都是为了消去中间过多的项，大家也可以从等差数列求和中得到类似的体会。但你们刚才的求和方法是否适合所有等比数列前n项求和的问题呢？比如?an?是以a1为首项，q为公比的一个等比数列，每小组用你们自己的方法试一下。
（组1：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1
又?a1q???a1qn?2?q(a1?a1q???a1qn?3)?qSn?2
?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1?q(Sn?a1qn?2?a1qn?1)?a1qn?1
a1?a1qn
?(1?q)Sn?a1?a1q得到Sn? 1?qn
组2：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1?q(a1?a1q???a1qn?2)?a1?qSn?1即?Sn?a1?q(Sn?a1qn?1)
a1?a1qn
?Sn? 1?q
组3：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1
qSn?a1q???a1qn?1?a1qn
?(1?q)Sn?a1?a1qn
a1?a1qn
?Sn? 1?q
组4:受方组3的启发,从第二项开始提取一个a1,
再应用公式1?qn??1?q??1?q?q2????????qn?1?
?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1(1?q?q2????????qn?1)
1?qn
?Sn?a1 1?q
（各小组均未注意到q?1的情形，所以教师要作重点强调，并总结出等比数列求和公式。）
2、案例简析
新教材对于此节安排就是一个实际的例子引出,再通过这个实际例子求和的方法推导迁移出一般等比数列的求和公式。如果教学中,对于公式只是简单的推导,再让学生记住公式,
并利用公式计算,确实不难,只要将推导的方法直接告诉学生,再让学生利用大量练习进行巩固。这样也能达到一定的教学效果。可是只是这样让学生机械的,被动的去接受结果,忽略让学生自己去发现结果,和探索问题的思维过程,就失去了训练思维的绝好的机会。本案例由现实情境引入课题，在教师引导和提示下，学生提出问题并解决问题,把火热的思维过程展现在课堂上,让他们自己去体验艰辛探索后的成功的愉悦。这对于他们以后学习数学,学好数学非常有益.
以往教学只是介绍推导方法,这样的思考问题的思路显得狭隘,限制了学生从多层次,多角度去思考的权利。本案例的处理就是再现一种的推导过程,而在这种推导过程让学生从多个层面去思考,用多种方法去解决问题,通过观察、分析、归纳、猜想,培养学生的数学思维能力,同时调动学生学习数学的积极性。在该案例设计中，笔者是基于以下两点考虑的：
2．1在课上促进学生应用意识的养成
新的课程标准已对学生数学应用意识作了清楚的刻画，正如[1]文中指出的：“学生的应用意识主要体现在以下2个方面。（1）面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略??（2）认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。”[1]但目前数学教育中存在着一个较大的问题即学生应用能力、应用意识的培养与课堂教学的脱钩，认为课堂是学生学习基础知识、基本技能的主战场，因此一提起数学应用，以及作为数学应用的一个重要载体的研究性学习便想到了让学生走出校园，进入社区，着手调查。笔者以为，让学生在现实生活中体验数学对学生应用意识的养成确有巨大的影响，但不是全部。吕传汉、汪秉彝曾这样写道：“学生学习有别于人类的一般学习，它主要是掌握间接经验的过程??不必事事从直接经验开始，而应是在教师指导下对现成知识‘再发现’。”[2]如何不出校门培养学生的应用意识？一个有效的手段即是教师创设一个有利于儿童学习活动的问题情境，让“学校数学”与“日常数学”走向融合，使学生不出校门而在问题解决中学习数学知识，逐渐树立起“学数学即是做数学”的观念。而在此过程中一个重要的思想即是模型的思想，或更为具体地说也就是数学建模，这也是笔者在案例设计时思考的又一问题。
2．2数学模型思想在课堂教学中的渗透
在此强调这一点，笔者以为有着特殊重要的意义。从数学本身的发展来看，数学往往起源于具体事物、具体经验，形成非结构性知识，但数学的发展并不终止于非结构性知识，而往往需要作进一步的抽象，最终形成具有良好结构的数学知识。这种结构的形成在一定程度上是由于数学模型的一般化，模型之间的协调。正是基于此，笔者认为，数学模型化思想（包括数学建模和数学解模的思想）的学习较数学知识本身的学习有更重要的意义和更大的发展潜力。让学生用数学模型思想看问题，用建模的方法解决问题，用解模应用于生活，即是促进了学生“经由数学地思维”的能力。《〈高中数学课程标准〉的框架设想》也明确指出要把数学建模贯穿于各学习模块之中，并单独设立了“数学建模”的专题课程。但笔者以为，目前在中学开设“数学建模”专题课程时机尚不成熟，这首先是因为中学数学课程内容多，学时少；其次是因为学生现有能力结构不适合独立开设数学建模课程。因而，与专门开设数学建模课相比，教师在日常课堂教学中渗透模型思想，以建模为平台开展日常教学就显得更为迫切。结合正常课堂教学，通过对教材呈现的知识的理性重建，在部分环节上“切入”建模的内容，尽管有时会偏离该堂课的教学目标，但对于学生能力的培养，未来的发展都有着很大的作用。