篇一：新课程高中数学课堂教学中的案例(一)
新课程高中数学课堂教学中的案例（一）
22
----—再谈基本不等式???的创新表示法
石河子第一中学 朱友忠
22
案例：基本不等式a?b?a?b??2ab的创新表示法
《北师版·必修5》【不等式习题课】 3·4 P95 B组第1题略有改动 题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如图所示：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；
一、归纳课本中的表示法 解：∵AC=a,CB=b, ∴OC=,CG=OE=
22
在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=()2+()2=
222
OE=OD=(同圆的半径相等)，CD=
2()22在Rt△ODC中，有CD=DF·OD; ∴DF=== 22
整理：CE=，OE=, CD=, DF=
2a?b通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立；
22
即：???， 当且仅当a=b时，取“=”成立。主要是建立集合图形证明。
22a?b
22
《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“???”的证明。
22a?b
二、创新课本中的表示法
上课时提问：“”在全面所学的知识中与那个式子类同？
学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标公式类同；
学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=的表达式类同；
学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。
通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数学课本中还有与上述类同式子的应用。
2
22
同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“” ，“”“”，“” 是成
立的；则它们分别代表哪四条线段呢？
设梯形的下底AB= b，上底CD= a，如图(1),于是就有： F
(1).梯形的“中位线”EF=,显然成立； 2H B 证明很简单略在初中的平面几何中已经证明。 图(1) (2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2), 使得梯形 B ABHG与梯形GHCD相似，则?,即GH=ab显然成立；称GH为“相似线”
图(2)
(3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,
则?，即?，∴x=①
Q B
△BOQ∽△BDC,有
OQy
?，即?，∴y= ②
m?n由①，②可得，PQ=x+y=+= 即PQ= ③
在梯形中，△ODC∽△OBA,有?,即?④
图(3)
N
将④代入③中消去得: PQ=,称PQ为“调和线” na?b
(4). 在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4), 使得梯形 b B
图(4)
ABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x, 则有
（a?x)h1(x?b)h2
， ?
h1⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有h1?,即h1? ⑥ ?
h2a?xh2SBh2b?x22
h1由⑤，⑥可得?=
，即MN=x=; 称MN为“面积线”
Q
H
F N
2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MN≥EF≥GH≥PQ
22
???即：当且仅当a=b时，取“=”成立。 图(5)
B
此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法
例如：函数f(x)=x?1，可以证明该函在实数R上是增加的； x?122
于是就有：f(1)= ，f(0)= ，f(-)=，f(-1)=
a?b22a?b
22
f(1)≥f(0)≥f(-)≥f(-1) 即，≥≥≥ 当且仅当a=b时，取“=”成立。
2a?b2a?b
22
其实，不等式???的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，综合法，分析法）众所周知，
就不必说明了；《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多，阅读资料中，谈到2002年在北京召开的24届国际数学家大会
2222
的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，会标图案中就蕴含着≥≥≥≥的存在，
值得参考与借鉴。实在是太完美了，真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如何构造几何图形、如何构造函数，都有待于同仁们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。
新课程高中数学课堂教学中的案例（二）
----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用
石河子第一中学 朱友忠
案例：“α-π”的理解
《北师版·必修4》P16 4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式，那么怎样理解这个角“α-π”呢？
刚开始我接触角“α-π”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“??”k∈Z的三角函数诱导公式，在前面
的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的范筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：
sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;
等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到；我就在想，既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中，说明它是可以直接到位的。 在备课时，借助单位圆，如图所示我就仔细研究起来，在单位圆
中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系，发现 角α+π与角α-π的终边相同，即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下：
sin(α±π)=-sinα;cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tan把角α看作“锐角”，则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限；还可以理解：角α-π加上2π也就得到角α+π（或加上2kπ,k∈Z）的结果了。真是大快人心的事情。
“α-π”的应用
角α-π加上2π（或加上2kπ,k∈Z）的应用（对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快） 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是： 第(1)题：sin(-)=sin(-+2π)=sin=(而课本上的解答用了4步)；
4
4
4第(3)题：cos(-)=cos(-+6π)=cos=-?(而课本上的解答用了4步)；
6
6
6
P19·例3 第(2)题：sin(-)加上10π即可化简；(而课本上的解答用了5步)；
练习：判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如：
①sin(-)加上4π即可化简；②cos(-)加上6π即可化简；③cos(-)加上4π即可化简；
5
4
17
P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=, 求sin(-3π+α)的值；
只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。
P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(+α);
2
在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简（2）小题：
sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)
=
=
sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?)
略
角α-π加上π（或加上kπ,k∈Z）的应用（对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快） P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小：
00
（1）tan138与tan143
解：前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用； （2）tan(-)与tan(-)
解：前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用；
P40A组第10题求值：?tan2(?)?2tan(?)只要在前面的式子加上6π、后面的式子加上7π就可以起到简化的作
66用；
练习：求下列各式函数值P40 A组备选题
①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180
00
③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080
小结：通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实，很快化到最简，的确起到事半功倍之效；也就是说，对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z)；对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z)；上述事实只是我个人的看法，如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落实三维目标在授课中得到体现。
新课程高中数学课堂教学中的案例（三）
----------对一道例题的分析理解与拓展
石河子第一中学 朱友忠
案例：一道例题的分析理解与拓展
《北师版·必修4》P117 3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4题目：要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图（1
才能使长方形面积最大？ 分析：要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量； 问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？ 方案一、因为A点在运动，说明OA的长度也在发生变化，此时
图（1）
可设OA=x，连接OB=R，则AB=R2?x2，所以面积S=2x2?x2（0<x<R）
解得：S=2x2?x2=2x2(R2?x2)=2?(x2?)2?（也可以用均值定理解决）
2
24
当x2=,即x=时，所以面积Smax=R2;
2
方案二、因为B点在运动，说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ，此时可设∠BOA=α，OB=R, 则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α;
当sin2α=1,即α=450时，所以面积Smax=R2; 小结反思：
1、代数法：以线段长为自变量，建立函数关系式，用代数方法求函数最值。 2、三角法：选择角度为自变量，建立函数关系式，用三角知识求函数最值；（适用于与旋转有关的问题）。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目：把一段半径为R的圆木如图（2）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的面积最大？
分析一、代数法：设AB=x，x∈(0,2R),则BC=R?x；
分析二、三角法：设∠CAB=α,α∈(0,90),则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα
分析三、几何法：作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE;
2
要使DE最大，即AB=BC时，面积Smax=2R 图（2）
拓展二、一段半径为R,圆心角为90的扇形木料如图（3）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样据法才能使截面的面积最大？ 若按如图（4）的锯法：
方法1、代数法：略
方法2、三角法：略 2
2
方法3、几何法：利用对称性还原成圆木料。求得Smax=R2
图（3） 图（4）
图（5）
若按如图（5）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,45)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图（5）可知，
00
OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)]
2000
面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)]
00
=R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)]
=R2[sin(2α+45)-1] 当α=时，面积Smax=(-1)R2
比较如图（4）的锯法与如图（5）的锯法(转自：wWw.XiAocAoFanWeN.cOm 小 草 范文网:以实际的教学案例分析说明高中数学新课程的教学观)，显然R2>(-1)R2
2
所以要采用如图（4）的锯法面积最大。
拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的
面积最大？
若按如图（7）的据法：
方法1、代数法：略
方法2、三角法：略 图（6） 2图（7）
方法3、几何法：利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R
2
图（8）
若按如图（8）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,60)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图（8）可知，
OF=FA=BE=Rsin(60-α),
00
所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-sin(60-α)]
3
00
=R[cos(60-α)- sin(60-α)]
3
=Rsinα
20
面积S=2BE·AB=4Rsin(60-α)sinα]= 2R2[cosαsinα-sin2α]
=R2[sin2α-]=R2[sin(2α+300)-]
3
2
3当2α+300=900时，即α=300，面积Smax=R2
比较如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，显然R2>R2
所以要采用如图（8）的据法面积最大。
由上述推理计算过程，让我大胆猜测对半径R的扇形图，当扇形角在（00～1800]的范围内，两种截得的矩形面积下列图表成立：
拓展四、将如图（3）的木料锯成如图（9）的形状，怎样锯才能使 四边形OABC的面积最大？ 00
解：设∠AOB=α，α∈(0，90)，则BD=Rsinα,BE=Rcosα, 所以SOABC=S△OAB+S△OCB=R·Rsinα+R·Rcosα
22
22
=R(sinα+cosα)=Rsin(α+450)
2
当α+450=900，即α=450时，SOABC有最大值为R
2
图（9）
通过教材中的一道例题的理解与拓展，对三角知识加深了理解和应用，正是新课标的要求，使学生掌握基本知识与技能，体会学习的过程，同时领会数学思想方法，不仅增强了学生对数学学习的兴趣，而且树立了学生对数学学习有了良好的情感态度和价值观。
新课程高中数学课堂教学中的案例（四）
——-几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究
石河子第一中学 朱友忠
案例：几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法
由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度，在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法；本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法；进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例：
一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型
例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时，f′(a)的导数. 解：令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中，得f(0)=0
由导数的定义，f′(a)=?
x?0
f(a??x)?f(a)f(a)?f(?x)?f(a)f(?x)f(0??x)?0
limlimlim=?== x?0?x?0?x?0
篇二：新课程高中数学课堂教学中的案例(一)
新课程高中数学课堂教学中的案例（一）
22
----—再谈基本不等式???的创新表示法
22
石河子第一中学 朱友忠
a?b
案例：基本不等式???的创新表示法
《北师版·必修5》【不等式习题课】 3·4 P95 B组第1题略有改动 题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如图所示：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；
一、归纳课本中的表示法 解：∵AC=a,CB=b, ∴OC=,CG=OE=
22
在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=()2+()2=
OE=OD=(同圆的半径相等)，CD=
2()22在Rt△ODC中，有CD=DF·OD; ∴DF=== 22
整理：CE=，OE=, CD=, DF=
2
通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立；
22
即：???， 当且仅当a=b时，取“=”成立。主要是建立集合图形证明。
22
《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“???”的证明。
二、创新课本中的表示法
上课时提问：“”在全面所学的知识中与那个式子类同？
学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标公式类同；
学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=2
的表达式类同；
学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。
通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数学
2
课本中还有与上述类同式子的应用。
22
同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“” ，“”
2
“”，“” 是成立的；则它们分别代表哪四条线段呢？
设梯形的下底AB= b，上底CD= a，如图(1),于是就有： (1).梯形的“中位线”EF=,显然成立；
F
证明很简单略在初中的平面几何中已经证明。
(2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2), 使得梯形
图(1)
B
a H
ABHG与梯形GHCD相似，则?,即GH=显然成立；称GH为“相似线” (3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,
则?，即?，∴x=①
图(2)
B
Q B
△BOQ∽△BDC,有
OQy
?，即?，∴y= ②
图(3)
由①，②可得，PQ=x+y=+= 即PQ= ③
b
在梯形中，△ODC∽△OBA,有?,即?④
AB
OB
n
N
将④代入③中消去得: PQ=,称PQ为“调和线”
（a?x)h1(x?b)h2
ABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x, 则有， ?
h1?⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有h1?,即h1? ⑥ Ph2a?xh2SBh2b?x22
h1由⑤，⑥可得?=，即MN=x=; 称MN为“面积线”
(4). 在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4), 使得梯形 b B
图(4)
Q
H
F N
2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MN≥EF≥GH≥PQ
22
即：???当且仅当a=b时，取“=”成立。
图(5)
B
此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法
例如：函数f(x)=x?1，可以证明该函在实数R上是增加的； xx
x?1
22
于是就有：f(1)= ，f(0)= ，f(-)=，f(-1)=
222
f(1)≥f(0)≥f(-)≥f(-1) 即，≥≥≥ 当且仅当a=b时，取“=”成立。
2a?b2a?b
22???的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，综合法，其实，不等式
分析法）众所周知，就不必说明了；《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多，阅读资料中，谈
到2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，
2222
会标图案中就蕴含着≥≥≥≥的存在，值得参考与借鉴。实在是太完美了，
2真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如何构造几何图形、如何构造函数，都有待于同仁们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。
新课程高中数学课堂教学中的案例（二）
----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用
石河子第一中学 朱友忠
案例：“α-π”的理解
《北师版·必修4》P16 4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式，那么怎样理解这个角“α-π”呢？
刚开始我接触角“α-π”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“??”k∈Z的三
角函数诱导公式，在前面的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的范筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：
sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;
等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到；我就在想，既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中，说明它是可以直接到位的。 在备课时，借助单位圆，如图所示我就仔细研究起来，在单位圆
中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系，发现 角α+π与角α-π的终边相同，即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下：
sin(α±π)=-sinα;cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tan
把角α看作“锐角”，则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限；还可以理解：角α-π加上2π也就得到角α+π（或加上2kπ,k∈Z）的结果了。真是大快人心的事情。
“α-π”的应用
角α-π加上2π（或加上2kπ,k∈Z）的应用（对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快） 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是： 第(1)题：sin(-)=sin(-+2π)=sin=(而课本上的解答用了4步)；
2
第(3)题：cos(-)=cos(-+6π)=cos=-?(而课本上的解答用了4步)；
P19·例3 第(2)题：sin(-)加上10π即可化简；(而课本上的解答用了5步)；
练习：判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如：
①sin(-)加上4π即可化简；②cos(-)加上6π即可化简；③cos(-)加上4π即可化简；
P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=, 求sin(-3π+α)的值；
只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。
P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(+α);
在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简（2）小题：
sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)
=
=
sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?)
略
sin(??)sin(???)
角α-π加上π（或加上kπ,k∈Z）的应用（对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快） P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小：
00
（1）tan138与tan143
解：前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用； （2）tan(-)与tan(-)
4
5
解：前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用；
P40A组第10?tan2(??2tan(?)只要在前面的式子加上6π、后面的式子加上7
π就可以起到简化的作用；
练习：求下列各式函数值P40 A组备选题
①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180
00
③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080
小结：通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实，很快化到最简，的确起到事半功倍
之效；也就是说，对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z)；对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z)；上述事实只是我个人的看法，如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落实三维目标在授课中得到体现。
新课程高中数学课堂教学中的案例（三）
----------对一道例题的分析理解与拓展
石河子第一中学 朱友忠
案例：一道例题的分析理解与拓展
《北师版·必修4》P117 3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4题目：要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图（1）所示，应怎样截取， 才能使长方形面积最大？ 分析：要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量； 问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？ 方案一、因为A点在运动，说明OA的长度也在发生变化，此时
图（1）
可设OA=x，连接OB=R，则AB=R2?x2，所以面积S=2xR2?x2（0<x<R）
解得：S=2x22=2222=2?(x2?2?（也可以用均值定理解决）
2
当x2=,即x=时，所以面积Smax=R2;
方案二、因为B点在运动，说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ，此时可设∠BOA=α，OB=R, 则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α;
当sin2α=1,即α=450时，所以面积Smax=R2; 小结反思：
1、代数法：以线段长为自变量，建立函数关系式，用代数方法求函数最值。 2、三角法：选择角度为自变量，建立函数关系式，用三角知识求函数最值；（适用于与旋转有关的问题）。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目：把一段半径为R
锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的面积最大？
分析一、代数法：设AB=x，x∈(0,2R),则
BC=；
分析二、三角法：设∠CAB=α,α∈(0,90),
则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα
分析三、几何法：作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE;
2
要使DE
最大，即AB=BC时，面积Smax=2R 图（2）
拓展二、一段半径为R,圆心角为90的扇形木料如图（3）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样据法才能使截面的面积最大？
若按如图（4）的锯法：
方法1、代数法：略
方法2、三角法：略 2
2
图（4） 2R方法3、几何法：利用对称性还原成圆木料。求得Smax
=
图（3）
图（5）
若按如图（5）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,45)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图（5）可知，
00
OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)]
2000
面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)]
00
=R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)]
=R2[sin(2α+45)-1] 当α=时，面积Smax=(-1)R2
比较如图（4）的锯法与如图（5）的锯法，显然R2>(-1)R2
2
所以要采用如图（4）的锯法面积最大。
拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问
图（6）
图（7）
怎样锯法才能使截面的面积最大？
若按如图（7）的据法： 方法1、代数法：略 方法2、三角法：略
方法3、几何法：利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R2
若按如图（8）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,60)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图（8）可知，
OF=FA=BE=Rsin(60-α),
00
所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-sin(60-α)]
00
=R[cos(60-α)- sin(60-α)]
32=2Rsinα
20
面积S=2BE·AB=Rsin(60-α)sinα]= R2[cosαsinα-sin2α]
=2R2[sin2α-]=2R2[sin(2α+300)-]
2
2
当2α+300=900时，即α=300，面积Smax=R2
比较如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，显然R2>R2
3
所以要采用如图（8）的据法面积最大。
由上述推理计算过程，让我大胆猜测对半径R的扇形图，当扇形角在（00～1800]的范围内，两种截得的矩形面积下列图表成立：
两种裁剪方法对照表：
篇三：新课程高中数学课堂教学中的案例(一)
新课程高中数学课堂教学中的案例（一）
22
----—再谈基本不等式???的创新表示法
石河子第一中学 朱友忠
案例：基本不等式???的创新表示法
《北师版·必修5》【不等式习题课】 3·4 P95 B组第1题略有改动 题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如图所示：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；
一、归纳课本中的表示法 解：∵AC=a,CB=b, ∴OC=,CG=OE=
22
在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=()2+()2=
OE=OD=(同圆的半径相等)，CD=
2
2()2在Rt△ODC中，有CD2=DF·OD; ∴DF===
2
22
整理：CE=，OE=, CD=, DF=
通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立；
22
即：???， 当且仅当a=b时，取“=”成立。主要是建立集合图形
证明。
22
《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“???”
22a?b
的证明。
二、创新课本中的表示法
上课时提问：“”在全面所学的知识中与那个式子类同？
2
学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标公式类同；
学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=的表达式类同；
2
学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。
通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而
且在大学的数学课本中还有与上述类同式子的应用。
22
同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“” ，
a “”“”，“” 设梯形的下底AB= b，上底CD= a，如图(1),于是就有： (1).梯形的“中位线”EF=,显然成立；
F
图(1)
H
b
B
证明很简单略在初中的平面几何中已经证明。
(2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2), 使得梯形
GH
AB
ABHG与梯形GHCD相似，则?,即GH=显然成立；称GH为“相似线” (3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于
图(2)
B
P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,
则?，即?，∴x=①
a Q B
△BOQ∽△BDC,有
OQy
，即?，∴y= ② ?
由①，②可得，PQ=x+y=+= 即PQ= ③
m?nm?nm?nm?n在梯形中，△ODC∽△OBA,有?,即?④
图(3)
N
将④代入③中消去得: PQ=,称PQ为“调和线” （a?x)h1(x?b)h2
ABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x, 则有， ?
h1?⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有h1?,即h1? ⑥ P22222
h1由⑤，⑥可得?=，即MN=x=; 称MN为“面积线”
(4). 在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4), 使得梯形 b B
图(4)
Q
H
F N
2b?x归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MN≥EF≥GH≥PQ
22
即：???当且仅当a=b时，取“=”成立。
图(5)
B
此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法
例如：函数f(x)=x?1，可以证明该函在实数R上是增加的； ax?bx
x?1
22
于是就有：f(1)= ，f(0)= ，f(-)=，f(-1)=
a?b22a?b
22
f(1)≥f(0)≥f(-)≥f(-1) 即，≥≥≥ 当且仅当a=b时，取“=”成
立。
22
其实，不等式???的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，
综合法，分析法）众所周知，就不必说明了；《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多，
阅读资料中，谈到2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数
2222
学家赵爽的弦图设计的，会标图案中就蕴含着≥≥≥≥的存在，
a?b2a?b
值得参考与借鉴。实在是太完美了，真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如何构造几何图形、如何构造函数，都有待于同仁们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。
新课程高中数学课堂教学中的案例（二）
----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用
石河子第一中学 朱友忠
案例：“α-π”的理解
《北师版·必修4》P16 4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式，那么怎样理解这个角“α-π”呢？
刚开始我接触角“α-π”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“??”k
∈Z的三角函数诱导公式，在前面的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的范筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：
sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;
等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到；我就在想，既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中，说明它是可以直接到位的。 在备课时，借助单位圆，如图所示我就仔细研究起来，在单位圆
中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系，发现 角α+π与角α-π的终边相同，即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下：
sin(α±π)=-sinα;cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tan
把角α看作“锐角”，则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限；还可以理解：角α-π加上2π也就得到角α+π（或加上2kπ,k∈Z）的结果了。真是大快人心的事情。
“α-π”的应用
角α-π加上2π（或加上2kπ,k∈Z）的应用（对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快） 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是： 第(1)题：sin(-)=sin(-+2π)=sin=(而课本上的解答用了4步)；
第(3)题：cos(-)=cos(-+6π)=cos=-?(而课本上的解答用了4步)；
P19·例3 第(2)题：sin(-)加上10π即可化简；(而课本上的解答用了5步)；
练习：判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如：
①sin(-)加上4π即可化简；②cos(-)加上6π即可化简；③cos(-)加上4π即
可化简；
P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=, 求sin(-3π+α)的值；
只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。
P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(+α);
在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简（2）小题： sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)
=
sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)
=
sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?)
略
sin(??)sin(???)
角α-π加上π（或加上kπ,k∈Z）的应用（对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快） P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小：
00
（1）tan138与tan143
解：前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用； （2）tan(-)与tan(-)
4
5
解：前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用；
P40A组第10题求值：?tan2(?)?2tan(?)只要在前面的式子加上6π、后面的式
子加上7π就可以起到简化的作用；
练习：求下列各式函数值P40 A组备选题
①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180
00
③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080
小结：通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实，很快化到最简，的确起到事半功倍之效；也就是说，对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z)；对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z)；上述事实只是我个人的看法，如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落实三维目标在授课中得到体现。
新课程高中数学课堂教学中的案例（三）
----------对一道例题的分析理解与拓展
石河子第一中学 朱友忠
案例：一道例题的分析理解与拓展
《北师版·必修4》P117 3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4题目：要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图（1）所示，应怎样截取， 才能使长方形面积最大？ 分析：要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量； 问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？ 方案一、因为A点在运动，说明OA的长度也在发生变化，此时
图（1）
可设OA=x，连接OB=R，则AB=2?x2，所以面积S=2xR2?x2（0<x<R）
解得：S=2x22=2222=2?(x2?)2?（也可以用均值定理解决）
2
当x2=,即x=时，所以面积Smax=R2;
方案二、因为B点在运动，说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ，此时可设∠BOA=α，OB=R,
2
则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=Rsin2α;
当sin2α=1,即α=450时，所以面积Smax=R2; 小结反思：
1、代数法：以线段长为自变量，建立函数关系式，用代数方法求函数最值。 2、三角法：选择角度为自变量，建立函数关系式，用三角知识求函数最值；（适用于与旋转有关的问题）。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目：把一段半径为R的圆木如图（2）
所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的面积最大？
2
2
分析一、代数法：设AB=x，x∈(0,2R),则BC=4R?x；
分析二、三角法：设∠CAB=α,α∈(0,90),则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα
分析三、几何法：作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE;
2
要使DE最大，即AB=BC时，面积Smax=2R 图（2）
拓展二、一段半径为R,圆心角为90的扇形木料如图（3）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样据法才能使截面的面积最大？ 若按如图（4）的锯法：
方法1、代数法：略
方法2、三角法：略 方法3、几何法：利用对称性还原成圆木料。求得Smax=R2
图（3） 图（4）
图（5）
若按如图（5）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,45)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图（5）可知，
00
OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)]
2000
面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)]
00
=R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)]
=R2[sin(2α+45)-1]
当α=时，面积Smax=(2-1)R2
比较如图（4）的锯法与如图（5）的锯法，显然R2>(-1)R2
2
所以要采用如图（4）的锯法面积最大。 拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，
试问怎样锯法才能使截面的面积最大？
若按如图（7）的据法：
方法1、代数法：略
方法2、三角法：略 图（6） 2图（7）
方法3、几何法：利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R
2
图（8）
若按如图（8）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,60)
000
采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图（8）可知，
OF=FA=BE=Rsin(60-α),
333
00
所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-sin(60-α)]
00
=R[cos(60-α)- sin(60-α)]
=2Rsinα
20
面积S=2BE·AB=4Rsin(60-α)sinα]= 2R2[cosαsinα-sin2α]
=R2[sin2α-]=R2[sin(2α+300)-]
3
2
3当2α+300=900时，即α=300，面积Smax=R2
比较如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，显然R2>R2
所以要采用如图（8）的据法面积最大。
由上述推理计算过程，让我大胆猜测对半径R的扇形图，当扇形角在（00～1800]的范围内，两种截得的矩形面积下列图表成立：
两种裁剪方法对照表：